二重积分的的几何意义本身就是计算空间几何体的体积。该几何体的底面显然是一个圆的内部（含圆的边界），该圆的表达式为x²+y²=3²，即圆的圆心为（0，0），半径为3；几何体的高度为z=f（x，y）=|x²+y²-4|。
几何体的高度z为正值，但（x²+y²-4）在区域D内并非都是正值：只有在x²+y²>2²这个圆的外部时，（x²+y²-4）>0而取正值；当在这个圆内部时，取负值。
所以原积分分解成为两个积分的和，就可以去掉绝对值符号：
原积分=∫∫(D1)（-x²-y²+4）dv+∫∫(D2)（x²+y²-4）dv，其中D1：x²+y²≤4；D2：4≤x²+y²≤9。然后利用极坐标积分的变换，就很容易求出积分的值了。
不定积分的公式
1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + C
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + C
6、∫ cosx dx = sinx + C
7、∫ sinx dx = - cosx + C
8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C
如图
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积分区间是怎么确定的？
有绝对值的积分，按绝对值内的正负分区间
如对区域D∫∫|f(x,y)|dxdy
可以解 f(x,y)>=0 在D内的解集为 D1，f(x,y)<0 在D内的解集为 D2
则：区域D∫∫|f(x,y)|dxdy = 区域D1∫∫ f(x,y) dxdy - 区域D2∫∫ f(x,y) dxdy
带有绝对值的二重积分，按绝对值内的正负分区间
如对区域D∫∫|f(x，y)|dxdy
可以解 f(x，y)>=0 在D内的解集为 D1。
f(x，y)<0 在D内的解集为 D2
则：区域D∫∫|f(x，y)|dxdy = 区域D1∫∫ f(x，y) dxdy - 区域D2∫∫ f(x，y) dxdy。
扩展资料：
在空间直角坐标系中，二重积分作为各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。
某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。
参考资料来源：百度百科-二重积分
