Question

如图，已知直线y=－½x+4与x轴交与A点，与y轴交于B点，点M的坐标为（4，0），点P（x,y）是第一象限

如图，已知直线y=－½x+4与x轴交与A点，与y轴交于B点，点M的坐标为（4，0），点P（x,y）是第一象限内直线AB上的动点，连接OP、MP。设ΔOPM的面积为s.
（1）求关于x的函数表达式，并求x的取值范围；
（2）当P点在什么位置时，图中存在与ΔOPM全等的三角形？画出所有符合的示意图并说明全等的理由（不能添加辅助线）
（3）在（2）的条件下，求P的坐标。
求解写出详细过程

Answer 1

1、令x=0,则y=4,

∴B（0，4）；

令y=0,则x=8,

∴A（8，0），

∵M(4,0)

∴|OM|=4，

∴S△OAB=OB*OA/2=4*8/2=16，

S△OPM=|OM|*y/2=2y,

S△PBO=|OB|*x/2=2x,

S△POA=|OA|*y/2=8y/2=4y,

S△OAB=S△OPB+S△OPA=2x+4y,

2x+4y=16,

∴x=8-2y,

∴2y=8-x,

∴S△OPM=8-x,

s=8-x,

∴x=8-s,

(0<=x<=8)

2、当P在AB的中点时，则PM是OA的垂直平分线，此时△PMA≌△PMO。

∵P和M分别是OA和BA的中点，

∴PM是RT△OAB的中位线，

∴PM//OB，

∵OB⊥OA，

∴PM⊥OA，

∵M是OA的中点，

∴PM是线段OA的垂直平分线，

∴|OP|=|PA|，

〈OMP=〈AMP=90°，

|PM|=|PM|，（公用边），

∴RT△OPM≌RT△APM。

当OP是〈BOA的平分线时，△BOP≌△MOP。

∵|OB|=|OM|=4，

〈BOP=〈MOP=45°，

|OP|=|OP|，（公用边）

∴△BOP≌△MOP。

3、当P在AB中点时，根据中点公式，

Px=(8+0)/2=4,

Py=(4+0)/2=2,

∴P（4，2）。

当OP是〈BOA的平分线时，

根据角平分定理，

|OB|/|OA|=|BP|/|PA|，

|BP|/|PA|=4/8=1/2，

|BP|/|AB|=1/3，

|BA|=√（4^2+8^2)=4√5，

作PE⊥Y轴，垂足E，则|EP|=Px,

∵△BEP∽△BOA，

∴Px/|OA|=1/3,

∴Px=8/3,

|EP|=|OB|/3=4/3,

∴Py=|OE|=|OB|-|EB|=4-4/3=8/3,

∴P（8/3，8/3).