Question

高等数学不定积分？

第五题

Answer 1

设∫f(t)dt=F(t) 则F'(t)=f(t)
则∫(1,√x)f(t)dt=F(1)-F(√x)
则d[∫(1,√x)f(t)dt]/dx=d[F(1)-F(√x)]/dx=-f(√x)/2√x
所以-f(√x)/2√x=√x
===>f(√x)=-2x
===>f(x)=-2x²
所以f'(X)=-4x

3题是af(a)
分子分母的极限都是0 用L'hospital 法则
原式=limx∫(x.a)f(t)dt/(x-a)
=lim d[x∫(x.a)f(t)dt]/dx /d(x-a)/dx
=lim(∫(x.a)f(t)dt+xf(x)/1
=[0+af(a)]/1
=af(a)

Answer 2

∫【ln[ x+√(1+x^2)]】^2 dx
=x.【ln[ x+√(1+x^2)] 】^2 - 2∫x.ln[ x+√(1+x^2)] .[1/x+√(1+x^2) ].[1 + x/√(1+x^2) ] dx
=x.【ln[ x+√(1+x^2)] 】^2 - 2∫ x.ln[ x+√(1+x^2)] /√(1+x^2) dx
=x.【ln[ x+√(1+x^2)] 】^2 - 2∫ ln[ x+√(1+x^2)] d√(1+x^2)
=x.【ln[ x+√(1+x^2)] 】^2 - 2 ln[ x+√(1+x^2)].√(1+x^2) -2∫ dx
=x.【ln[ x+√(1+x^2)] 】^2 - 2 ln[ x+√(1+x^2)].√(1+x^2) -2x + C

Answer 3

思路，先分部积分，再化简，再分部积分即可得到，详细步骤为:

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