Question

已知椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,焦距为6,椭圆上一点P在直线l:x-y+9=0上运动

求长轴最短时点P的坐标和椭圆方程

Answer 1

设椭圆方程为 mx^2+ny^2=1(m、n>0) ，
因为椭圆与直线有公共点P ，因此联立得 mx^2+n(x+9)^2=1 ，
化简得 (m+n)x^2+18nx+81n-1=0 ，
当椭圆最短时，椭圆与直线相切，因此判别式=(18n)^2-4(m+n)(81n-1)=0 ，（1）
又椭圆焦距为 6 ，因此 |1/m-1/n|=9 ，（2）
由以上两式解得 m=1/45 ，n=1/36 ，或 m=1/36 ，n=1/45 ，
所以，椭圆方程为 x^2/45+y^2/36=1 ，可解得 P（-5，4），
或 x^2/36+y^2/45=1 ，可解得 P（-4，5）。