Question

这个二重积分怎么算？

Answer 1

二重积分的计算方法

Answer 2

Answer 3

算dx的时候把y当做常数a，就这个时候二重积分就相当于两次的一重积分。具体细节最好看书。

Answer 4

定义
设二元函数z=f（x，y）定义在有界闭区域D上，将区域D任意分成n个子域 ，并以 表示第 个子域的面积。在 上任取一点 作和 。如果当各个子域的直径中的最大值 趋于零时，此和式的极限存在，且该极限值与区域D的分法及 的取法无关，则称此极限为函数 在区域 上的二重积分，记为 ，即 。
这时，称 在 上可积，其中 称被积函数， 称为被积表达式， 称为面积元素， 称为积分区域， 称为二重积分号。
同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。[1]
性质
积分的线性性质
性质1 （积分可加性） 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和（差），即

性质2 （积分满足数乘） 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即
(k为常数）[2]
比较性
性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y)，则
[2]
估值性
性质4 设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值，σ为区域D的面积，
则
性质5 如果在有界闭区域D上f(x,y)=k（k为常数)，σ为D的面积，则Sσ=k∫∫dσ=kσ。[2]
二重积分中值定理
设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续，σ为区域的面积，则在D上至少存在一点（ξ，η），使得
[2]
意义
当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。
当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。[2]
几何意义
在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。
例如二重积分 ,其中 ，表示的是以上半球面为顶，半径为a的圆为底面的一个曲顶柱体，这个二重积分即为半球体的体积 。[2]
数值意义
二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。
如函数 ，其积分区域D是由 所围成的区域。
其中二重积分是一个常数，不妨设它为A。对等式两端对D这个积分区域作二重定积分。[2]

故这个函数的具体表达式为：f（x，y）=xy+1/8，等式的右边就是二重积分数值为A，而等式最左边根据性质5，可化为常数A乘上积分区域的面积1/3，将含有二重积分的等式可化为未知数A来求解。[1]