Question

已知0＜α＜π/2，试比较α，tanα，sinα的大小并利用三角函数线证明

Answer 1

tanα>α>sinα
在x=0处，
f'(0)=x'|(x=0)=1；g'(0)=sin'x|(x=0)=cosx|(x=0)=1=f'(x)
且f(0)=g(0)
由在(0,π/2)内，g'(x)<1，
故在x∈(0,π/2)时，sinx=g(x)<f(x)=x

同理h'(0)=tanx|(x=0)=1，
且h(0)=f(0)
在(0,π/2)内h'(x)>1
故在x∈(0,π/2)时，tanx=h(x)>f(x)=x

证毕

Answer 2

利用单位圆很好说明问题，因为a在0到90度的开区间内，作出正弦线和正切线，很容易看刿两者的大小。

Answer 3

实际上这三个函数在上述的区间都是单调递增函数，一个在y=x的上方，一个在下方.