Question

已知函数f(x)=2lnx+a/x^2(a>0),若对任意x∈(0,+∞)时,f(x)≥2恒成立,求实数a的取值范围

Answer 1

• 解：由题意知：

　　f(x)≥2恒成立 即2lnx+a/x^2≥2恒成立（x∈(0,+∞)）

　　变形得到：a≥x^2（2-2lnx）恒成立

　　故a≥[x^2（2-2lnx）]的最大值

　　

令t(x)=x^2（2-2lnx）,下求t（x）最大值

　　先求导一次

　　 t'(x)=2x(2-2lnx)+x^2(-1/x)

　　              =3x-4xlnx

　　              =x(3-4lnx)

　　令t'(x)=0,则x=0(舍去)或x=e^(3/4)

　　当x∈(0，e^(3/4)），则t'(x)>0（递增）

　　当x∈(e^(3/4),+∞),则t'(x)<0（递减）

　　故当x=e^3/4时，t(x)取最大值1/2e^(3/2)

　　

故a≥1/2e^(3/2)

Answer 2

f'(x)=2/x-2a/(x^3)
令f'(x)>0
得2x²-2a>0
x>√a
所以当x=√a时 f(x)取最小值
f(√a)=lna+1≥2
lna≥1
所以a>e