Question

高数 求极限一题 要详解啊

lim (ln tan3x)/(ln tan 4x) (x->0+)

Answer 1

lim[x→0] (lntan3x)/(lntan4x)
洛必达法则
=lim[x→0] (3sec²3x/tan3x)/(4sec²4x/tan4x)
=(3/4)lim[x→0] (sec²3xtan4x)/(sec²4xtan3x)
等价无穷小代换
=(3/4)lim[x→0] (4xsec²3x)/(3xsec²4x)
=1

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Answer 2

因为 当 x->0+ 时，tan3x=tan0=0 ，tan4x=tan0=0
而当 x->0+ 时，ln tan3x=ln tan 4x=无限大

使用罗比达法则，（对上下分别微分）

得到
lim (ln tan3x)/(ln tan 4x) (x->0+)
=lim (tan4x/tan3x * 3/4) (x->0+)
再次使用罗比达法则，
=lim (sec^2 4x/sec^2 3x * 3/4 * 4/3) (x->0+)
=1
因此极限为1

Answer 3

tan 3x 等价无穷小为 3x
tan 4x 等价无穷小为 4x
lim (ln tan3x)/(ln tan 4x) = lim ln (3x) / ln(4x)
求导 = [3/(3x) ] / [4/(4x)]
=1