Question

如图，BC是圆O的直径，A是圆上一点，AD垂直BC于D，P为弧AC上一动点，连接PB，分别交AD、AC于E、F.

当AF=AE时，点P在什么位置？

Answer 1

解：连接PC
BC为直径,所以∠BPC为直径所对圆周角,因此∠BPC=90
因为AE=AF,所以∠AEF=∠AFE
AD⊥BC,∠AEF=∠BED=90-∠DBP
∠AFE=∠CFP=90-∠PCA
因此∠DBP=∠PCA
因为∠DBP所对弧为PC弧,∠PCA所对弧为AP弧
所以弧AP=弧PC
P为弧AC中点

Answer 2

当弧PC=弧AB时，AF=EF
证明：
∵弧PC=弧AB，
∴∠PBC=∠ACB．
而∠AEF=∠BED=90°-∠PBC
∠EAF=90°-∠ACB
∴∠AEF=∠EAF
∴AF=EF

当P点使弧PC=弧AB时，AF=EF.
证明：当P点使弧PC=弧AB时，ABCP是等腰梯形，
∴∠ABC=∠PCB
∠ABC=∠CAD(同为∠ACD的余角)
∠AEF=∠BED
∠BED=∠PCB(同为∠PBC的余角)
∴∠CAD=∠AEF
∴AF=EF

Answer 3

弧AC的中点。解答如下：连结PC，则∠BPC=90°。当AF=AE时，△AEF是等腰三角形，∠AFE=∠AEF。由于∠PFC是∠AFE的外角，∠BED是∠AEF的外角。所以∠PBC=∠PCA.。因为∠PBC和∠PCA分别是弧PC，弧PA所对的圆周角，所以弧PA=弧PC。