Question

已知，如图，梯形ABCD中，AB//CD，对角线AC.BD交于点D ①：EF过O，且EF//AB，求证OE=OF ②：若AB=2CD,

②：若AB=2CD,MN//AB，且MP=PN，求证MN=CD

Answer 1

①△AOD∽△COB
所以
OC/OA=OB/OD
所以
(OC+OA)/OA=(OB+OD)/OD
即
AC/OA=BD/OD…………（1）
因为
EF//AD//BC
所以
OE/BC=OA/AC…………（2）
OF/BC=OD/BD…………（3）
根据（1）（2）（3）可得
OE/BC=OF/BC
所以
OE=OF

②证明:∵MN∥CD.
∴PM/CD=AM/AD;
同理:MN/AB=DM/AD.
∴PM/CD+MN/AB=AM/AD+DM/AD=(AM+DM)/AD=1.
又AB=2CD.
则(MN/2)/CD+MN/(2CD)=1.
即MN/(2CD)+MN/(2CD)=1.
∴(2MN)/(2CD)=1,MN=CD

Answer 2

①△AOD∽△COB
所以
OC/OA=OB/OD
所以
(OC+OA)/OA=(OB+OD)/OD
即
AC/OA=BD/OD
因为
EF//AD//BC
所以
OE/BC=OA/AC
OF/BC=OD/BD
可得
OE/BC=OF/BC
所以
OE=OF

②证明:∵MN∥CD.
∴PM/CD=AM/AD;
同理:MN/AB=DM/AD.
∴PM/CD+MN/AB=AM/AD+DM/AD=(AM+DM)/AD=1.
又AB=2CD.
则(MN/2)/CD+MN/(2CD)=1.
即MN/(2CD)+MN/(2CD)=1.
∴(2MN)/(2CD)=1,MN=CD