Question

已知，如图，梯形ABCD中，AB//CD，对角线AC.BD交于点D ①：EF过O，且EF//AB，求证OE=OF

②：若AB=2CD,MN//AB，且MP=PN，求证MN=CD

Answer 1

（1）证明：因为 AB//CD，EF//AB
所以 AB//EF//CD，
所以 DE/AD=CF/BC，
因为 EF//AB，
所以 OE/AB=DE/AD，OF/AB=CF/BC
所以 OE/AB=OF/AB，
所以 OE=OF。
（2）证明：因为 MN//AB，
所以 DM/AD=MN/AB，
因为 AB//CD，MN//AB，
所以 MN//CD，
所以 AM/AD=MP/CD，
因为 DM/AD=MN/AB，
所以 AM/AD+DM/AD=MP/CD+MN/AB，
即： MP/CD+MN/AB=（AM+DM）/AD=1
因为 MP=PN，
所以 MP=1/2MN，
又因为 AB=2CD
所以 1/2MN/CD+MN/2CD=1
即： MN/CD=1
所以 MN=CD。

Answer 2

（1）证明：因为AB//CD，EF//AB
所以AB//EF//CD，
所以DE/AD=CF/BC，
有因为EF//AB，
所以OE/AB=DE/AD，OF/AB=CF/BC
所以OE/AB=OF/AB，
所以OE=OF。
（2）证明：因为MN//AB，
所以DM/AD=MN/AB，
因为AB//CD，MN//AB，
所以 MN//CD，
所以 AM/AD=MP/CD，
又因为DM/AD=MN/AB，
所以 AM/AD+DM/AD=MP/CD+MN/AB，
即：MP/CD+MN/AB=（AM+DM）/AD=1
因为 MP=PN，
所以MP=1/2MN，
又因为AB=2CD
所以1/2MN/CD+MN/2CD=1
即：MN/CD=1
所以MN=CD。即可证明原命题

Answer 3

小儿科的问题。