Question

如图，已知PA、PB是圆O的两条切线，A、B为切点，连接OP交圆O于点D，交AB于点C，（1）证明：PO垂直平分AB

（1）证明：PO垂直平分AB
（2）证明：PA²=PB²=PC×PO

Answer 1

(1)证明:连接OA、OB
PA、PB为圆切线，所以PA⊥OA，PB⊥OB
∠PAO=∠PBO=90
在RT△PAO和RT△PBO中
∠PAO=∠PBO=90
PO=PO
OA=OB
所以△PAO≌△PBO（HL）
PA=PB，所以P在线段AB垂直平分线上
又因为OA=OB
所以O在线段AB垂直平分线上
因此PO为AB垂直平分线
（2）由（1）得，∠PAC=90
在△PAO和△PAC中
∠APO=∠APC，∠PAO=∠PAC=90
所以△PAO∽△PAC
PA：PO=PC：PA
PA²=PC×PO
又因为PA=PB，所以PA²=PB²=PC×PO

Answer 2

1 连接OA, OB.
因为PO=PO，OA=OB（半径），角OAP=角OBP=90°（PA，PB与圆相切），所以三角形POA全等于POB ，所以角POA=POB。
又因为OC=OC，OA=OB，所以三角形COA全等于三角形COB，所以CA=CB，角OCA=角OCB=90°，所以PO垂直平分AB。

2 角CPA=角APO，角ACP=角OAP=90°，所以三角形CAP相似于三角形AOP，所以CP/AP=AP/OP，即AP²=PC×PO，又因为PA=PB，所以PA²=PB²=PC×PO

证明完毕

Answer 3

延长PO交圆于E，连结OA，OB。
∵OA=OB

∴△ABO是等腰三角形
∵PA、PB是圆O的两条切线

∴PA²=PD×PE
PB²=PD×PE

PA=PB

∵OP是公共边
∴△PAO≌△PBO
∴∠POA=∠POB(PO平分∠AOB)
∴PO垂直平分AB
(2)∵PA、PB是圆O的两条切线
∴OA⊥PA，OB⊥PA，
在Rt△poA中根据射影定理
∴PA²=PB²=PC×PO