Question

高等数学极限

划红线的部分，是怎么转换过去的？等价无穷小吗？是的话，分母的-x的方，怎么出来的，求详细解说

Answer 1

利用了x-->0时的两个重要极限：

1. e^x-1=x——行话叫x-->0时e^x-1和x是等价无穷小。

2. tanx=x行话叫x-->0时tanx和x是等价无穷小。

等价无穷小在求极限过程中是可以互换的。

Answer 2

是负x方的等价无穷小

追问

那个，划红线的地方，左边分子为什么等价于右边的分子啊？搞不懂

追答

e的x次方-1=x，这个x可以换成其他近似0的式子，例如果那个是e的x方，右边就是正的x方

Answer 3

全是等价无穷小啊。

追问

画红线的部分。为什么左边的分母等价于右边的分母？主要是这一点不明白。

追答

最经典的等价无穷小，tanx和sinx在x趋于0 时均等价于x

追问

问错了，是左边的分子为什么等价于右边的分子

谢啦

追答

等价无穷小不要看得那么局限。e的x次方-1.在x趋于0时等价于x，这里的x是一个宽泛的含义，并不只是x，比如x²在x趋于0是同样趋于0，那么e的x²次方-1在x趋于0时自然等价于x²，说的再宽泛一点，用张宇老师名言，e的狗次方-1在狗趋于0时自然趋于狗。这里的狗就很好说明了这个式子如果只理解到x就太狭隘了。

Answer 4

等价无穷小替换。
x→0时，由e^x～1+x得 e^(-x²)～1+(-x²)，也就是 e^(-x²)-1～-x²；
由tanx～x，得xtanx～x²;