Question

椭圆X^2/4+Y^2=1,过椭圆右焦点的直线L交椭圆与A,B两点,做以AB为直径的圆过圆点,求直线L的方程

Answer 1

a^2=4，b^2=1 ，所以 c^2=a^2-b^2=3 ，
椭圆右焦点为（√3，0），
设直线 L 的方程为 y=k(x-√3) ，代入椭圆方程得 x^2/4+k^2(x-√3)^2=1 ，
化简得 (4k^2+1)x^2-8√3k^2*x+12k^2-4=0 ，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则 x1+x2=8√3k^2/(4k^2+1) ，x1*x2=(12k^2-4)/(4k^2+1) ，
所以 y1*y2=k^2(x1-√3)(x2-√3)=k^2*[x1*x2-√3(x1+x2)+3]= -k^2/(4k^2+1) ，
由于以 AB 为直径的圆过坐标原点，因此 OA丄OB ，
所以 x1x2+y1y2=0 ，
代入可得 (12k^2-4-k^2)/(4k^2+1)=0 ，
解得 k=±2√11/11 ，
因此，L 的方程为 y= -2√11/11*(x-√3) 或 y= 2√11/11*(x-√3) 。

Answer 2

设A(x1,y1),B(x2,y2),
向量OA=(x1,y1),向量OB=(x2,y2),
∵O点在以AB为直径的圆上,
∴<BOA=90°,(半圆上圆周角为90°),
∴向量OA⊥OB,
∴x1x2+y1*y2=0,(1)
∴a=2,b=1,
∴c=√(4-1)=√3,
设直线斜率为k,
则直线方程为:y=k(x-√3),
y1=k(x1-√3),
y2=k(x2-√3),
y1*y2=k^2(x1*x2)-√3k^2(x1+x2)+3k^2,(2)
x^2/4+k^2(x-√3)^2=1,
(1+4k^2)x^2-8√3k^2x+12k^2-4=0,
根据韦达定理,
x1+x2=8√3k^2/(1+4k^2),
x1*x2=(12k^2-4)/(1+4k^2),
由(1)式和(2)式,
x1x2+k^2(x1*x2)-√3k^2(x1+x2)+3k^2=0
[(12k^2-4)/(1+4k^2)](1+k^2)-√3k^2*8√3k^2/(1+4k^2)+3k^2=0,
12k^2-4+12k^4-4k^2-24k^4+3k^2+12k^4=0
11k^2-4=0,
∴k=±2√11/11
∴直线方程为:y=±(2√11/11)(x-√3).