Question

一个微积分的题目求解

有一个足够大的容器，装有1000L溶液，浓度为50%，现在同时往里注入纯水,速度为15L/s，并且排出溶液,速度为5L/s，假设溶液在注入纯水瞬间已经均匀混合，且纯水与溶液混合并不发生体积变化，问经过多少秒后，容器内溶液浓度变成10%？

Answer 1

有一个足够大的容器，装有1000L溶液，浓度为50%，现在同时往里注入纯水,速度为15L/s，并且排出溶液,速度为5L/s，假设溶液在注入纯水瞬间已经均匀混合，且纯水与溶液混合并不发生体积变化，问经过多少秒后，容器内溶液浓度变成10%？
解：浓度为50％的1000升溶液中含溶质500升；t秒后注入纯水15t升，则浓度变为：
500/(1000+15t)；同时流出的5t升溶液中含溶质2500t/(1000+15t)；故t秒后溶液的浓度ρ：
ρ=[500-(2500t)/(1000+15t)]/(1000+10t)=0.1
500-(2500)/(1000+15t)=100+t
400-(2500)/(1000+15t)=t
400(1000+15t)=(1000+15t)t+2500
15t²-5000t-397500=0
3t²-1000t-7950=0
故t=(1000+√1095400)/6=(1000+1046.6)/6=2046.6/6=341.1(秒)
即经过约341.1秒后溶液的浓度为10％。

Answer 2

设 V（t) 为时间t 时，溶液的体积。设 R（t)为时间t 时，溶液的浓度.

于是V（0）=1000， R（0）=0.5
V（t + dt) = V(t) + 15 dt - 5dt= V(t)+10dt ==> V'(t)=10, V(t)=1000+10t
R(t + dt) = (V(t)R(t) - 5R(t) dt)/V(t + dt) ==>
R'(t)= lim (dt -->0)(R(t+dt) - R(t))/dt =-15R/（1000+10t)
==> (lnR)'=-15/(1000+10t)=-15/10 (ln(100+t))'
lnR = -15/10 ln(100+t) + C
带入 R（0）=0.5,
ln0.5= -3/2 ln100+ C,
C= -ln2 + 3ln10=ln500
然后 带入 R=0.1
ln0.1 = -3/2ln(100+t)+ln500
3/2ln(100+t)=ln5000
100+t = 5000^(2/3)
t=5000^(2/3)-100 秒。