Question

（二重积分）求曲面z=x平方+y平方 及 z=6-2 x平方-y平方 所围成 的立体的面积

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

图形是一个开口向上的抛物面和一个开口向下的抛物面围成的立体,不用考虑图形具体的样子
首先求立体在xy坐标面上的投影区域,把两个曲面的交线投影到xy面上去,就是两个方程联立,消去z,得x^2＋y^2＝2,所以立体在xy坐标面上的投影区域是D：x^2＋y^2≤2
其次,根据二重积分的几何意义,立体的体积是两个曲顶柱体的体积的差,两个曲顶分别是Z＝x^2+2y^2和z＝6-2x^2-y^2,很容易判断得到z＝6-2x^2-y^2在Z＝x^2+2y^2上方
所以,立体的体积V＝∫∫(D)[(6-2x^2-2y^2)－(x^2+2y^2)]dxdy,在极坐标系下化为累次积分：V＝∫(0～2π)dθ∫(0～√2)(6－3ρ^2)ρdρ＝6π

Answer 3

两曲面的交线在xy坐标面上的投影曲线是x^2+y^2＝2，所以整个立体在xy面上的投影区域是d：x^2＋y^2≤2体积v＝∫∫(d)
[(6-2x^2-y^2)－(x^2+2y^2)]dxdy
用极坐标＝3∫(0～2π)dθ∫(0～√2)
(2－ρ^2)ρdρ＝6π