Question

定积分一个题目

结合定积分的性质和几何意义计算下列定积分的值..
定积分在(-3,3) ∫(x2+2)*[9-x2]的开根dx
定积分在(0,2) ∫(2x-x2)的开根dx
有些符号不会打 请包涵...谢谢..刚学定积分 这几题没啥头绪 图像画不出 性质又不知道从哪入手
∫(x2+2)乘(9-x2)的开根 x2为x的平方

Answer 1

1、利用被积函数为奇偶性。
你的题有问题吗？
我觉得应该是
(-3,3) ∫(x+2)*[9-x2]的开根dx
=(-3,3) ∫x[9-x2]的开根dx +(-3,3) ∫2[9-x2]的开根dx
其中第一项的被积函数为奇函数，所以在对称区间上的积分=0
第二项为偶函数，所以在对称区间上的积分=2* (0,3) ∫2√[9-x2]的dx =4*(0,3) ∫√[9-x2]dx
其中*(0,3) ∫√[9-x2]dx利用积分的几何意义：这个积分表示半圆x²+y²=3（上半圆）在区间[0,3]的面积。也就是圆面积的1/4 =9π/4
所以原积分=0+4* 9π/4 =9π

2、利用定积分的几何意义：面积
所以 (0,2) ∫(2x-x2)的开根dx 中令y=√(2x-x²)则(x-1)²+y²=1
那么定积分表示的就是：以（1,0）为圆心，1为半径的上半圆(因为y>=0)，在区间【0,2】上的面积
。这个面积正好等于半圆的面积=π/2

Answer 2

(-3,3)∫(x^2+2)(9-x^2)^0.5dx=(-π/2,π/2)∫[9(sina)^2+2](cosa)(3cosa)da
=(-π/2,π/2)∫[(27/4)(sin2a)^2+6(cosa)^2]da=(-π/2,π/2)∫[(27/8)(1-cos4a)+3(1+cos2a)]da
=(-π/2,π/2)[(51/8)a-(27/32)sin4a+(3/2)sin2a]=(51/8)π
(0,2)∫(2x-x^2)^0.5dx=(0,2)∫[1-(x-1)^2]^0.5dx=(-π/2,π/2)∫(cosa)^2da
=(-π/2,π/2)[(1/2)a+(1/4)sin2a]=(1/2)π

Answer 3

结合定积分的性质和几何意义计算下列定积分的值..
定积分在(-3,3) ∫(x2+2)*[9-x2]的开根dx
定积分在(0,2) ∫(2x-x2)的开根dx