Question

一道简单的排列组合问题：哪种解法正确？

一个题目出现了两种解题思路，结果也不一样，哪种正确？请说明理由。尤其是错误的原因。
题目是：
DOTA是war3中一款5v5的对抗型游戏地图。鱼种，双双，大妞三人相约一起打dota并且对付他们共同的敌人三江，但是他们三个不巧进入了sp房间，即洗牌模式：十个人随机选择阵营；
求鱼种，双双，大妞三人能够共同对抗三江的概率。

解法一：
考虑鱼种，双双，大妞三人在同一队，还需要考虑他们的敌人三江不在自己这一边。
解：
一共有10x9x8x7x6 / 5x4x3x2x1=252种情况；
这三人先放到一起，再从除了鱼种，双双，大妞，三江以外的6个玩家立选择两位加到他们一边。
共有6x5/2x1=15种组合。
概率是15/252=5/84

解法二：
鱼种在天灾的概率 x 双双在天灾的概率 x 大妞在天灾的概率 x 三江在近卫的概率
+
鱼种在近卫的概率 x 双双在近卫的概率 x 大妞在近卫的概率 x 三江在天灾的概率

即：5/10*4/9*3/8*5/7+5/10*4/9*3/8*5/7=0.119047619
这个题目一定要按照天灾近卫分开来解吗？毕竟天灾近卫的区分在题目当中没有出现。
我现在都给弄得有点神志不清了。所以我把题目提交给专业的数学论坛，尽管这真的就是一个中学题目。
希望大家能够继续踊跃回答。
我把现有的财富值都加上了，

Answer 1

在吗？ 我玩 dota，但是没进过SP房,房间人数是多少啊？是400吗？我认为首先要算四人同进一个组的概率，然后在进行计算 共同对抗三江的概率。
如果房间是100人 且100人同时进行随机进入阵营游戏， 那么鱼双妞，江四人进入同一主的概率是1/10000，鱼双妞进入同一阵营，江进入另一阵营的概率，1/10000乘以1/16=1/160000，有天灾和近卫两种情况， 因此再乘以2， 即鱼双妞对抗江的概率为1/80000，这是理论上100人的房间，且同时尽进行游戏的情况。
在实际中，我们在某一时科进行准备随机分配主，随机分配阵营可能就十几个人， 别的都已经开始玩了， 因此随机入到同一个主的概率就会大很多，但是如果不会到 有多少人同时在玩是无法计算的。

Answer 2

考虑鱼种，双双，大妞三人在同一队，还需要考虑他们的敌人三江不在自己这一边。
解：
一共有10x9x8x7x6 / 5x4x3x2x1=252种情况；
这三人先放到一起，再从除了鱼种，双双，大妞，三江以外的6个玩家立选择两位加到他们一边。
共有6x5/2x1=15种组合。
注意这里开始错了“这三人先放到一起”有两种，一种是放在第一组，一种是放在第二组。因为前面的252种情况中包含这两种情况，所以这里也要算上。概率是（15×2）/252=5/42≈0.119047619
错误的原因就是没有考虑到三个人在一起有两种情况，可能在第一组也可能在第二组。
一定要考虑三人在不同的两组中的情况，因为252种情况中，三人可能在第一组，也可能在剩下的一组。

Answer 3

gaosha6983474答得对，

你可以如此想，鱼种，双双，大妞和另外两人（非三江）组好队了，
但这个队的名称你还没去确定你，确定名称还有两种方法。
因为这个队可以是天灾队也可以是近卫队

但注意前面的C(10,5)=252，不需要选队名，因为就是选择出五个直接进入天灾队，剩下的进近卫队即可。

追问

解法一中就是按照不考虑近卫天灾的区别，仅仅把这三个玩家放在敌人的对立面。如果要考虑近卫天灾，那么组合总数也应该乘以二，因为选出的5个人也没有确定是进入仅为还是天灾。
从题目本身来考虑，也没有要求或提及近卫天灾的区别，因为有些答题者不玩dota，不懂这个。

追答

不需要乘以2，选中的5人直接进天灾即可，若要近卫天灾的区别，反而会错，如选择1,2,3,4,5进天灾和12345进近卫均要计算的话，那么678910进天灾（此时12345在近卫），678910进近卫·（此时12345在天灾）就被重复计算了。算法就不是C(10,5)了

Answer 4

第二种对
第一种只考虑了他们在天灾或者近卫的情况 所以最终结果乘以2 所得的数值就与解法二所得的结果一样了

追问

为什么要乘以二？既然把他们三个放在一队，敌人在另一队，目的就已经达到了啊

追答

那你放在哪一队，天灾还是近卫？
比如三个人在天灾，三江在近卫，这是一种情况。
三个人在近卫，三江在天灾这又是一种情况。
你的解法一只考虑三个人在天灾或者在近卫。

追问

哪么组合总数252呢？十个人里出五个，可以是近卫或者天灾，这样总数也应该乘以二喽

追答

我明白你的意思。
你的解法一说的是如果三个人在天灾，一共会出现252种组合，那么我就把这三个人都安排到天灾方，这样我求出的概率就是5/84.
如果我把这三个人安排到近卫呢，结果同样是5/84，两数相加不就是10/84了，结果就和你的解法二的结果一致了。

追问

你不明白我的意思，C(10,5)=252，这里并没有规定这五个人在哪一方，在区分天灾近卫的情况下，组合总数会达到252*2=504种；那三个人在天灾方和近卫方的组合各有15种。30/504=5/84。

追答

在没有规定天灾还是近卫的情况下，你将5个人分成两组，有252种 选择一种分组情况
先抽出12345一组 678910一组 下面你要进行分组 12345是天灾 或者678910是天灾
再来一种分组情况 先抽出 678910 12345 你的C（10,5）只是进行分组 分情况 你从10个人中选5个人是有先后的 我这样分是把他们的先后也排出来了
678910是天灾 12345是天灾 这不有重合了 所以你C（10,5）的时候就已经默认把他们区分为天灾或者近卫了

Answer 5

个人倾向第2个答案5/42
分母是把10人分成2组，分法有C（10,5）除以2 种
分子是C（6,2）

分子除以分母得到5/42