Question

一些数学题，求大神！！

前两题求极限（可以用罗必塔法则） 第三题求a和b
求详细点的解答
谢谢

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Answer 1

1、y=[(5x-3)/(5x+7)]^(3x+1)
lny=(3x+1)*ln[(5x-3)/(5x+7)]=(3x+1)*ln[1-10/(5x+7)]
lim<x->∞>lny=lim{(3x+1)*ln[1-10/(5x+7)]}
=lim{ln[1-10/(5x+7)]/[1/(3x+1)]}
=lim{1/[1-10/(5x+7)]*[10*5/(5x+7)^2]/[-3/(3x+1)^2]} (洛必达法则)
=lim{10*5(3x+1)^2/[-3(5x-3)*(5x+7)]}
=-10*5/3*lim{(9x^2+6x+1)/[(25x^2+20x-21)]}
=-10*5/3*lim{(18x+6)/[(50x+20)]} (洛必达法则)
=-10*5/3*lim{18/50} (洛必达法则)
=-10*5/3*18/50
=-6
∴lim<x->∞>y=lime^lny
=e^limlny
=e^(-6)
2、原式=lim(1+sin2x)^(1/x) （洛必达法则）
y=(1+sin2x)^(1/x)
limlny=1/x*ln(1+sin2x)
=2cos2x/(1+sin2x) (洛必达法则)
=2
∴原式=limy=lime^lny
=e^limlny
=e^2
3、左边=lim{[sin2x+bx]/[x^3]}+a
=lim{[2cos2x+b]/[3x^2]}+a (洛必达法则)
2cos2x+b为有界函数，不可能为∞，
若2cos2x+b为某个常数，则不能继续使用洛必达法则，
此时左边极限为∞，等式不成立
∴只能让x->0时，2cos2x+b->0，即b=-2
则[2cos2x+b]/[3x^2]仍为0/0型未定式，可继续使用洛必达法则
此时有：
左边=lim{[2cos2x-b]/[3x^2]}+a
=lim{-4sin2x/(6x)}+a
=-4/3*lim{sin2x/(2x)}+a
=-4/3+a （lim(sint/t)=1, t->0）
=0=右边
∴a=4/3
解是解出来了，但是这个结果应该是错误的，仅供讨论用
从直觉和画图的结果来看，这个极限当x->0时，不可能为0，只可能为∞
即上面的方程的等号是不可能成立的

追问

谢谢啊 第二题刚开始那地方能说详细点吗 用的是d/dx∫[x,a]f(t)dt = f(x)? 那前面的1/x不用求导吗？怎么直接就没了。。 没看懂

追答

是的，分子分母分别求导
分子是积分那一坨，就是你追问写的那个
分母是x，求导后是1，就直接省略了

Answer 2

1.自然对数的求法
2.罗比达法则+自然对数的求法
3.通分，a=0，b=-2

Answer 3

好乱，我眼花

Answer 4

这种数学题不要求大神了，求老师。