Question

这个求不定积分的题目怎么做呀？

正确解答追加100分！

Answer 1

2x/[(1+x)(1+x^2)] = 1/2×[ -1/(1+x) + (x-1)/(1+x^2) + (2x+2)/(1+x^2)^2]
= 1/2×[ -1/(1+x) + x/(1+x^2) - 1/(1+x^2) + 2x/(1+x^2)^2 + 2/(1+x^2)^2 ]

前面4项都好求，最后一项，令 x=tan t 解其原函数

-1/(1+x) 原函数 -ln(1+x)
x/(1+x^2) 原函数 1/2 ln(1+x^2)
-1/(1+x^2) 原函数 -arctanx
2x/(1+x^2)^2 原函数 -1/(1+x^2)

另 x= tan t ，则 sin t = x/根号（1+x^2），cos t = 1/根号（1+x^2）
2/(1+x^2)^2 dx = 2 (cos t)^4 × d(tan t) = 2 (cos t)^2 dt = (1 + cos 2t) dt
(1 + cos 2t) 原函数 t + sin t × cos t
反带回去 t + sin t × cos t 就是 arctan x + x/(1+x^2)

所以，结果
1/4 ln(1+x^2) - 1/2 ln(1+x) + 1/2 (x-1)/(1+x^2)

Answer 2

用maple软件得出来的答案，后面加上常数c即可。

追问

有没有过程？

追答

从答案来看，要想办法把原式转化成几个分式之和，然后对每个分式求积分。
将原式化成三个分母分别是(1+x)、(1+x²)、(1+x²)²的分式
使得最后通分之后分子的和为2x即可。
有点麻烦，但不是无法下手。

Answer 3

令x=1/t试试