Question

求问，如何运用不等式解此题：已知a,b为实常数,函数y=(x-a)²+(x-b)²的最小值为多少？

PS：我知道本题可利用二次函数的性质得出y(min)= (a-b)²／2，但我想知道怎样用不等式的角度去解此题。 谢谢各位了~

Answer 1

(x-a)²+(x-b)²≥2(x-a)(x-b)
(a-x)²+(x-b)²≥-2(a-x)(x-b)
a-x+x-b=a-b 为定值
当a-x=x-b时 (a-x)²+(x-b)²有最小值
x=(a+b)/2
(a-x)²+(x-b)²
=(a-(a+b)/2)²+(x-(a+b)/2)²
= (a-b)²/2

追问

谢谢~

Answer 2

y=(x-a)^2+(b-x)^2
令a+b=t,令x-a=c,b-x=d
则d-c=t
原问题转化成：y=c^2+d^2的最小值，其中(d-c=t)
d=t+c
y=c^2+(t+c)^2=2c^2+2tc+t^2=2(c^2+tc+t^2/4)+t^2/2=2(c+t/2)^2+t^2/2
当c=-t/2时，y最小
可能计算中有错误，反正就这个意思

Answer 3

a的平方+b的平方大于等于2ab，这个性质可以用

追问

请问，有没有具体的解题过程，我可以参考呢？谢谢~