Question

已知圆M：x2+（y-4）2=4，直线l的方程为x-2y=0，点P是直线l上一动点，过点P作圆的切线PA、PB，切点为A、B

（Ⅰ）当P的横坐标为 16 /5 时，求∠APB的大小； （Ⅱ）求证：经过A、P、M三点的圆N必过定点，并求出所以定点的坐标． （Ⅲ）求线段AB长度的最小值．
PS：圆M：x^2+(y+4)^2=4

Answer 1

（Ⅰ）
x=16/5，y=8/5，即P(16/5，8/5)，
圆心M(0，-4)，R=2，
PM=4√65/5，
∠APB=2∠APM=2arcsin(R/PM)=2arcsin(√65/26)；
（Ⅱ）
解1：
设P(2p，p)，圆心M(0，-4)，
经过A、P、M三点的圆的圆心N(p，p/2-2) (PM中点)
半径^2=p^2+(p/2+2)^2
圆N： (x-p)^2+(y-p/2+2)^2=p^2+(p/2+2)^2
x^2+y^2+4y-p(2x+y+4)=0
2x+y+4=0，x^2+y^2+4y=0
x^2+(2x+4)^2-4(2x+4)=0
5x^2+8x=0
x1=0，y1=-4(舍去)，x2=-8/5，y2=-4/5，
经过A、P、M三点的圆N必过定点Q(-8/5，-4/5)
解2：
设Q为M在直线 l 上的射影，由∠PAM=∠PBM=∠PQM=90°，P、A、M、Q、B五点共圆，
Q在经过A、P、M三点的圆上，
直线QM为：2x+y+4=0 (k=-2，过点M)
解方程组：
x-2y=0，2x+y+4=0
x=-8/5，y=-4/5
Q(-8/5，-4/5)
（Ⅲ）
线段AB长度最小时PM最小，PM⊥直线 l 于P
P与（Ⅱ）中的点Q重合即P(-8/5，-4/5)
PM=8√5/5
PA=PB=2√55/5
AB=2PA*R/PM=√11

Answer 2

（I）X=16/5，Y=8/5，即P坐标是（16/5，8/5）
设过P点的切线方程是y-8/5=k(x-16/5)
即有kx-y+8/5-16k/5=0

圆心M到直线的距离是半径，即有|-4+8/5-16/5k|/根号(k^2+1)=2
(-12/5-16/5k)^2=4(k^2+1)
144/25+196/25k^2+384k/25=4k^2+4
96/25k^2+384k/25+44/25=0
24k^2+96k+11=0
k1+k2=-4
k1k2=11/24
(k1-k2)^2=(k1+k2)^2-4k1k2=16-4*11/24=16-11/6=85/6
tanAPB=|k1-k2|/|1-k1k2|=根号(85/6)/(1-11/24)=24/13*根号(85/6)
数字有点麻烦，哪里做错了？

Answer 3

角APB是60度……大哥们我给你们跪了= =