Question

证明：若函数f(x)在[a,b]连续、非负， 且∫f(x)dx=0， 则f(x)=0。

Answer 1

可以很容易的用反证法来证明。
假设存在[a,b]上一点x0，有f(x0)>0的话，那么由f(x)的连续性，可以取x0的一个邻域（不妨设邻域长度为d）使得f(x)在其上都大于1/2*f(x0)。那么因为f(x)非负，由定积分的不等式可以知道
∫f(x)dx>=1/2*f(x0)*d>0
与∫f(x)dx=0矛盾。所以不存在这样的x0使f(x0)>0。
所以只能f(x)恒等于0。
不懂可以再问~

Answer 2

1、什么题啊，显然是这个结果
2、存在非递减的原函数F(x),积分值=F(b)-F(a)=0
所以F(b)=F(a)
因为F(x)非递减，所以F(x)是常函数
F'(x)=f(x)=0

Answer 3

见图

追问

请问，这是那一本书？

追答

华东师范大学《数学分析》

Answer 4

证明:∫f(x)dx=F(x)+C=0,=>F(x)=-C
∵F'(x)=f(x)=[-C]'=0
∴f(x)=0