Question

已知X＋Y＝100，求X²＋Y²最小值是多少？

Answer 1

解由x^2+y^2≥2xy
则2(x^2+y^2)≥x^2+y^2+2xy
则2(x^2+y^2)≥(x+y)^2
则2(x^2+y^2)≥100^2=10000
即x^2+y^2≥5000
则X²＋Y²最小值是5000.

Answer 2

X²＋Y²=（X+Y）*（X+Y）-2XY
=10000-2XY
=10000-2X（100-X）
=10000-200X+2X*Ⅹ
=10000+2（X*X-100X+2500-2500）
=10000+2（X-50）（X-50）-5000
=5000+2（X-50）*（X-50）
当X=50时，X²＋Y²最小值是5000。

Answer 3

最小值为5000

追问

有过程吗

Answer 4

四种解法：
1、X²＋Y²=（X+Y）*（X+Y）-2XY
=10000-2XY
=10000-2X（100-X）
=10000-200X+2X*Ⅹ
=10000+2（X*X-100X+2500-2500）
=10000+2（X-50）（X-50）-5000
=5000+2（X-50）*（X-50）
当X=50时，X²＋Y²最小值是5000；
2、解由x^2+y^2≥2xy
则2(x^2+y^2)≥x^2+y^2+2xy
则2(x^2+y^2)≥(x+y)^2
则2(x^2+y^2)≥100^2=10000
即x^2+y^2≥5000
则X²＋Y²最小值是5000；
3、X²＋Y²=x^2+(100-x）^2，整理得F(x)=2X^2-200X+10000，这是一个开口向上的抛物线，用抛物线顶点坐标公式求出最小值，得F(x)min=5000；
4、X＋Y＝100为一条直线，R^2=X²＋Y²是一个以原点为圆心的圆，当圆与X＋Y＝100直线相切时取得最小值R=50√2，此时R^2=5000，为最小值。

Answer 5

答案为5000
法一：由均值不等式x²+y²≥2xy,两边同时加上x²+y²得2（x²+y²）≥x²+y²+2xy,进而可得x²+y²≥(x+y)²/2＝5000
法二：x+y＝100实际上是直线x+y＝100,而所求x²+y²的是直角坐标系中该直线上的点（x,y）到原点（0，0）的距离的平方,你可以画图求，也可以使用点到直线的距离公式（高中知识）求得距离dmin＝(0+0+100)/2½＝50×2½，则dmin²＝50²×2＝5000
这只是这道题的两种解法，当然还有其他方法，你可以自己探索。打字不易，望采纳，谢谢！