Question

求证:无论x,y为何值,4x平方-16x+9y平方+18y+26的值恒为正

已知多项式x平方-6x+4y平方-16y+25，求x，y取何值时此多项式的值最小，并请求此最小值。 两题都要详细的 谢谢

Answer 1

1. 4x²-16x+9y²+18y+26=4x²-16x+16+9y²+18y+9+1
=(2x-4)²+（3y+3)²+1
≥1
所以：无论x,y为何值,4x平方-16x+9y平方+18y+26的值恒为正

2. x²-6x+4y²-16y+25=x²-6x+9+4y²-16y+16
=(x-3)²+(2y-4)²
≥0
所以当x-3=0且2y-4=0时，即x=3,y=2时此多项式的值最小，最小值为0

Answer 2

=(4x²－16x＋16)＋(9y²＋18y＋9)＋1
=(2x－4)²＋(3y＋3)²＋1>0
则：这个式子恒为正。

x²－6x＋4y²－16y＋25
=(x²－6x＋9)＋(4y²－16y＋16)
=(x－3)²＋(2y－4)²
最小值是0，此时x=3、y=2

Answer 3

4x^2-16x+9y^2+18y+26

=4(x^2-4x+4)+9(y^2+2y+1)+1
=4(x-2)^2+9(y+1)^2+1
>=1>0
所以，无论X，Y为何值，原式都是恒为正。
（2）x^2-6x+4y^2-16y+25
=(x-3)^2+4(y-2)^2
故当x-3=0,y-2=0时，即有X=3，Y=2时有最小值是：0

Answer 4

4x²-16x+9y²+18y+26=4(x²-4x+4)+9(y²+2y+1)+1=4(x-2)²+9(y+1)²+1
因为(x-2)²≥0，(y+1)²≥0
所以4(x-2)²+9(y+1)²+1≥1，恒为正。
当x=2，y=-1时，此多项式值最小为1

Answer 5

4x^2-16x+9y^2+18y+26
=4(x-2)^2+9(y+1)^2+1
因(x-2)^2>0,(y+1)^2>0,1>0
4x^2-16x+9y^2+18y+26=4(x-2)^2+9(y+1)^2+1>0
所以的值恒为正
x^2-6x+4y^2-16y+25=(x-3)^2+4(y-2)^2
当(x-3)^2=0,(y-2)^2=0时此多项式的值最小
当x=3和y=2时此多项式的值最小,最小值=0