Question

通过弹簧拉物体做功问题~高手进

我参加物理竞赛，前几天竞赛辅导的时候，有一个看似很简单的题目：

有一质量为M=2kg的物体，其一端通过轻弹簧施一大小为30N的水平恒力F，若弹簧的劲度系数为k=100N/m，物体与水平面间的动摩擦因数μ=0.3，求物体移动s=2m时的速度。

但是这个题目，我却找到了3种结果矛盾的做法，我的问题就是哪一种做法对，错误的做法为什么错了 **

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I.老师给出了一个做法，我们称这个做法是“解法一”：

根据能量守恒定律来做。取弹簧和物体M构成的系统为对象，机械能的变化等于外力功和内力中的非保守力做功之和，即：W外 + W非保守内 = E2 - E1

设末态（物体移动2m时）物体的速度为v，末态弹簧被拉长x，
这个题目中，系统内力不做功，只有拉力F，和摩擦力f做功，机械能初态为0，末态包括M的动能（1/2 Mv^2）和弹簧的弹性势能（1/2 kx^2），弹簧是轻的，不具有动能，（力做

功取力作用点的位移）所以：

F(s+x) - fs = 1/2 Mv^2 + 1/2 kx^2

另：F=kx，f=μMg，联立，
可求得v=(105/2)^(1/2)=7.24569 (m/s)

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II.我的一个同学的做法，称为“解法二”：

由于弹簧是轻的，所以根据牛顿第二定律，弹簧所受外合力F=ma，由于m=0，所以轻弹簧即使有加速度，受力也是平衡的。

那么，对弹簧受力分析，受到物体对弹簧的拉力T，和水平拉力F，而T=F，又根据牛顿第三定律，物体对弹簧的拉力等于弹簧对物体的拉力。所以，弹簧给物体的力也是F=30N。

现在我们单独分析物体M，受2个力，一个是弹簧给的30N拉力，一个地面摩擦，由于物体M可以直接看做质点，根据质点的动能定理（这里的F'是弹簧直接给物体的拉力，这个力作

用点的位移是s）：

F's - fs = 1/2 Mv^2

可以解得，v=4根3=6.9282 (m/s)

这个答案和解法一的答案不一致

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III.我又想到一个做法，称为“解法三”：

对物体和弹簧组成的系统，运用质点组的牛顿第二定律，有

F - f = Ma + ma'

等式左侧是整个系统受到的合外力，右侧，M是物体质量，a是物体加速度，m是弹簧质量，a'是弹簧加速度。由于弹簧是轻的，所以m=0，故而

F - f = Ma

所以，a = 12 (m/s^2)
而，以上分析对任意时刻均成立，所以物体做匀加速直线运动，根据运动学规律，有
v^2 = 2as
所以v=4根3=6.9282 (m/s)
这和解法二答案一致。

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真相只有一个，所以上面的解法肯定有错误的，这个问题，我也问了我们竞赛的老师，他是后两种做法是错误的，包括参加竞赛的同学，也普遍认为后第一种做法正确，两种做法

错误，但是理由不让我信服。下面来比较一下这3个做法：

本质上，后两种做法其实是一样的，都没有用到劲度系数k。我也思考了很长时间，到底与k有没有关系。
弹簧从原长，慢慢伸长，这是一个渐变的过程，所以弹簧给物体的力，似乎也不是瞬间加到30N，似乎要考虑弹簧伸长的过程。
但是弹簧的质量是0，这是这个问题相对诡异，似乎弹簧瞬间就能拉开……

另外，我在百度知道上搜这个问题，有一个问过这个原题了，但是后面的回答，包括最佳答案，显然都欠考虑，对于物体不能看做质点时，功的公式中的位移应该取力的作用点的

位移。所以大家不要引用网上的，或者其他不权威的资料。

我思考了很多，但是始终找不到这3种解法的错误。
不过，第一种做法应该是正确的，很多竞赛书的解答都是第一种，正确率在90%以上，当然了，书上的老师的都不能说是一定正确，希望高手能给我解疑！

答案满意，再追加分数！
感谢你们的回答。

1.大部分人认同第一种做法，但是第一种做法的结果却要比后2种做法的结果要大，那是不是意味着，在物体受力位移的2m内，平均拉力大于30N？
2.还有兄弟说，不能对质量为0的物体受力分析。但我们可以考虑这样一个过程，假设弹簧质量为m，那么m和最后的速度v就建立某种关系，当m趋向于0的时候，速度v总是存在的吧

3.还有，TO - 金枪鱼2008 - 高级魔法师 七级：
我很高兴能看到相反的观点。你说轻弹簧的弹性势能应该是kx^2，你用定义说明作论据，我也无法否定。
但我有一个疑问，难道弹簧具有的弹性势能不是仅仅与形变程度有关么？也就是说，对于同样一弹簧，我以不同的过程拉，使之伸长量一样，弹性势能也不同？
另外，外力也是线性增加的，这一点我很迷惑：我们用手拉弹簧，手拉弹簧的力和弹簧反过来对手的力应该是作用力与反作用力的关系，时时等大的。而弹簧给手的弹性力又正比于弹簧的伸长。那我在弹簧还没有伸长的时候，对弹簧施加一个较大的力，那么弹簧对手的反作用力也会等大，但此时弹簧还来不及伸长，那样不是不符合胡克定律么？我好像对F=kx中的这个F到底是哪个力有点晕……

Answer 1

既然是恒力30N，就不用考虑弹簧的影响，直接按作用在物体上30N的力来算。
摩擦力为0.3*2*9.8=5.88m/s2
加速度为（30-5.88）/2=12.06m/s2
两秒的速度12.06*2=24.12m/s

Answer 2

由于忽略了弹簧质量，所以刚开始时弹簧瞬间增长0.3米
此时做功9焦，而弹簧势能增加了4.5焦，有4.5焦由于省略质量而变得没有物理意义，那4.5焦是做简谐运动的动能，省略质量后动能也省略了，这种问题在热学里无质量活塞那里也有，本来做简谐运动的活塞，被认为是静止的
而省略了一部分能量

所以我认为这刚开始时物理过程应该在弹簧瞬间增长0.3米之后进行，如果这样的话，1错23对

Answer 3

老师的做法算出来的数比你大，是因为你的做法中拉升弹簧做的功(F*x)完全转化成了弹簧的势能。而老师的做法中只有一半给了弹簧，另一半给了木块。你算一下，木块动能的差值正好等于kx^2/2。就是说拉升过程做的功也不断输送给了木块。这个过程显然不能用动力学解释，这是也忽略弹簧质量带来的一个矛盾之处。其实在这里忽略质量必然会产生矛盾，所以关键还是看忽略是怎么体现的，忽略得合不合理。

Answer 4

但弹簧的质量是可以忽略不记的,所以我认为1是对的,2和3错了..

Answer 5

http://qkzz.net/magazine/CN50-1061/2007/20/2197526.htm