Question

∫sec³xdx求解，最好详细点

Answer 1

∫sec³xdx
=∫secxdtanx
=secxtanx-∫tanxdsecx
=secxtanx-∫tan²xsecxdx
=secxtanx-∫(sec²x-1)secxdx
=secxtanx-∫sec³xdx+∫secxdx
=> ∫sec³xdx=1/2*secxtanx+1/2∫secxdx
∫secxdx=∫1/cosx*dx
=∫1/cos²x*dsinx
=∫1/(1-sin²x)*dsinx
=1/2∫[1/(1-sinx)+1/(1+sinx)]*dsinx
=1/2{-∫[1/(1-sinx)]d(1-sinx)+∫[1/(1+sinx)]*d(1+sinx)}
=1/2{-ln(1-sinx)+ln(1+sinx)}+C
=1/2ln[(1+sinx)/(1-sinx)]+C
=> ∫sec³xdx=1/2*secxtanx+1/2∫secxdx
=1/2*secxtanx+1/4ln[(1+sinx)/(1-sinx)]+C

Answer 2

∫sec³xdx=∫(secx)d(tanx)=secxtanx-∫tanxd(secx)=sinx/cos²x-∫tanx*sec²x*sinxdx
=sinx/cos²x-∫sin²x*(secx)^4*d(sinx)
=sinx/cos²x-∫sin²xd(sinx)/[(1-sin²x)²]
=sinx/cos²x+∫d(sinx)/(1-sin²x)-∫d(sinx)/[(1-sin²x)²]
=sinx/cos²x+(1/2)ln[(1-sinx)/(1+sinx)]-∫d(sinx)/[(1-sin²x)²]
=sinx/cos²x+ln√[(1-sinx)/(1+sinx)]-∫d(sinx)*[1/(1-sinx)+1/(1+sinx)]²/4
=sinx/cos²x+ln√[(1-sinx)/(1+sinx)]-1/(4-4sinx)+1/(4+4sinx)-[ln(1-six)]/4-[ln(1+sinx)]/4
=sinx/cos²x-1/(4-4sinx)+1/(4+4sinx)+(1/4)ln[(1-sinx)/(1+sinx)^3)]