Question

数学求帮忙

已知以点P为圆心的圆经过点A(-1，0)和B(3，4)线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且丨CD丨=4根号10(1)求直线CD的方程(2)求圆P的方程

Answer 1

A， B 在圆上，所以AB是圆的一条弦。圆的任一条弦的
垂直平分线都会通过圆心 P(Xp, Yp)。 (如果不了解，可追问)
所以 CD 为直径，CD = 2r = 4根号10, r = 2根号10
圆的通式为﹕ [(x-Xp)^2]+[(y-Yp)^2] = r^2， A， B 在圆上
所以 (-1-Xp)^2 + Yp^2 = 40 ------(1)
(3-Xp)^2 + (4-Yp)^2 = 40 ----(2)
直线的方程式为 y = mx +b
所以 0 = -m + b1 ----------(3)
4 = 3m + b1 ----------(4)
解之，得 m = 1, b1 = 1
所以 AB 的方程式为 y = x + 1

AB的垂直平分线的斜率为 -1/m = -1
所以 CD 的方程式为 y = -x + b2
AB的中点，M，座标为 (Xm, Ym):
Xm = [3+(-1)]/2 = 1, Ym = (4 + 0)/2 = 2, 所以 M(1, 2) 在 CD 上
y = -x + b2， 所以 b2 = y+x = 3
CD 的方程式为 y = -x + 3
因为圆心 P(Xp, Yp) 在CD 上，所以 Xp+Yp = 3 --------(5)
(5) 代入(2) 9 - 6Xp + Xp^2 + (1 + Xp)^2 = 2Xp^2 - 4Xp + 10 = 40
Xp^2 - 2Xp - 15 = (Xp-5)(Xp+3) = 0
所以 Xp1 = 5, Yp1 = -2, (x-5)^2 + (y+2)^2 = 40
Xp2 = -3, Yp2 = 6, (x+3)^2 + (y-6)^2 = 40

Answer 2

解：（1）∵A（-1，2）和B（1，4）
∴AB的中点为（0，3），∴kAB=1
∵AB⊥CD∴kCD=-1---------（2分）
∴直线CD的方程为y=-x+3，即 x+y-3=0
（2）设点P的坐标为（a，b），（a＞0，b＞0）
∵|CD|=2
10
10
，∴圆P的半径为
10

∴圆P的方程为（x-a）2+（y-b）2=10
∵A在圆P上，∴（a+1）2+（b-2）2=10
∵P在CD上，∴b=3-a，---------（9分）
∴（a+1）2+（1-a）2=10
∴a=±2∵a＞0
∴a=2
∴圆P的方程为 （x-2）2+（y-1）2=10
希望你能看懂

Answer 3

：（1）∵A（-1，2）和B（1，4）
∴AB的中点为（0，3），∴kAB=1
∵AB⊥CD∴kCD=-1---------（2分）
∴直线CD的方程为y=-x+3，即 x+y-3=0
（2）设点P的坐标为（a，b），（a＞0，b＞0）
∵|CD|=2
10
10
，∴圆P的半径为
10

∴圆P的方程为（x-a）2+（y-b）2=10
∵A在圆P上，∴（a+1）2+（b-2）2=10
∵P在CD上，∴b=3-a，---------（9分）
∴（a+1）2+（1-a）2=10
∴a=±2∵a＞0
∴a=2
∴圆P的方程为 （x-2）2+（y-1）2=10