折叠定义式
f(x,y',y'',……y(n))=0
折叠编辑本段溯源由来
微分方程研究的来源：它的研究来源极广，历史久远。I.牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程 y┡=?(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。
20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，也出现不少新型的微分方程（特别是方程组）。70年代随着数学向化学和生物学的渗透，出现了大量的反应扩散方程。从“求通解”到“求解定解问题” 数学家们首先发现微分方程有无穷个解。常微分方程的解会含有一个或多个任意常数，其个数就是方程的阶数。偏微分方程的解会含有一个或多个任意函数，其个数随方程的阶数而定。命方程的解含有的任意元素（即任意常数或任意函数）作尽可能的变化，人们就可能得到方程所有的解，于是数学家就把这种含有任意元素的解称为“通解”。在很长一段时间里，人们致力于“求通解”。但是以下三种原因使得这种“求通解”的努力，逐渐被放弃。第一，能求得通解的方程显然是很少的。在常微分方程方面，一阶方程中可求得通解的，除了线性方程、可分离变量方程和用特殊方法变成这两种方程的方程之外，为数是很小的。如果把求通解看作求微商及消去法的某一类逆运算，那么，也和熟知的逆运算一样，它是带试探性而没有一定的规则的，甚至有时是不可能的（J.刘维尔首先证明黎卡提方程不可能求出通解），何况这种通解也是随着其自由度的增多而增加其求解的难度的。第二，当人们要明确通解的意义的时候（在19世纪初叶分析奠基时期显然会考虑到此问题）就会碰到严重的含糊不清之处，达布在他的教学中经常提醒大家注意这些困难。这主要发生在偏微分方程的研究中。
第三，微分方程在物理学、力学中的重要应用，不在于求方程的任一解，而是求得满足某些补充条件的解。A.-L.柯西认为这是放弃“求通解”的最重要的和决定性的原因。这些补充条件即定解条件。求方程满足定解条件的解，称之为求解定解问题。
早期由于外弹道学的需要，以及40年代由于高速气动力学研究激波的需要，拟线性一阶双曲组的间断解的研究更得到了重大发展，苏联和美国学者作出了贡献。泛函分析和偏微分方程间的相互联系，相互促进发展，首先应归功于法、波、苏等国学者的努力。
中华人民共和国建立后，微分方程得到了重视和发展。培养了许多优秀的微分方程的工作者，在常微分方程稳定性、极限环、结构稳定性等方面做出了很多有水平的结果；在偏微分方程混合型刻画渗流问题的拟线性退缩抛物型、椭圆组和拟线性双曲组的间断解等方面做出了很多有水平的结果。
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2024-04-02 广告
解：∵微分方程为dy/dx=y/x+(y/x)² ∴设y=ux，微分方程化为(ux)'=u+u²，u'x+u=u+u²，u'x=u²，
u'/u²=1/x，-1/u=ln|x|+ln|c|(c为任意非零常数)，
-x/y=ln(cx)，微分方程的通解为y=-x/ln(cx)
∵微分方程为y'-3y=xe³ˣ，化为y'e⁻³ˣ-3ye⁻³ˣ=x
∴有(ye⁻³ˣ)'=x，ye⁻³ˣ=0.5x²+c(c为任意常数)，微分方程的通解为y=(0.5x²+c)e³ˣ ∵y(0)=2 ∴有c=2 ∴微分方程的特解为y=(0.5x²+2)e³ˣ
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再加一道题
解：∵微分方程为xv"+(x+4)v'+3v=0 ∴观察微分方程的形式之后，设微分方程的特解为v=xʳ，v'=rxʳ⁻¹，
v"=r(r-1)xʳ⁻²，有r(r-1)xʳ⁻¹+rxʳ+4rxʳ⁻¹+3xʳ=0，
(r²+3r)xʳ⁻¹+(r+3)xʳ=0，得：r=-3 ∴微分方程的特解为
v=x⁻³ ∴设微分方程的通解为v=x⁻³u，v'=x⁻³u'-3x⁻⁴u，v"=x⁻³u"-6x⁻⁴u'+12x⁻⁵u，有x(x⁻³u"-6x⁻⁴u'+12x⁻⁵u)+(x+4)(x⁻³u'-3x⁻⁴u)+3x⁻³u=0，x⁻²u"-2x⁻³u'+x⁻²u'=0，
xu"-(2-x)u'=0，u"/u'=2/x-1，ln|u'|=lnx²-x+ln|a|
(a为任意非零常数)，u'=ax²e⁻ˣ，u=-ax²e⁻ˣ-2axe⁻ˣ-
2ae⁻ˣ+c(c为任意常数)，微分方程的通解为
v=-ax⁻¹e⁻ˣ-2ax⁻²e⁻ˣ-2ax⁻³e⁻ˣ+cx⁻³ ∴微分方程
xy"+(x+4)y'+3y=4x+4的齐次方程xy"+(x+4)y'+3y=0的通解为y=-ax⁻¹e⁻ˣ-2ax⁻²e⁻ˣ-2ax⁻³e⁻ˣ+cx⁻³ 又∵微分方程的右式为4x+4 ∴设微分方程的特解为y=px+q
(p、q为任意常数)，y'=p，y"=0，有(x+4)p+3(px+q)=0，得：p=1，q=0 ∴微分方程的特解为y=x
∴微分方程的通解为y=-ax⁻¹e⁻ˣ-2ax⁻²e⁻ˣ-2ax⁻³e⁻ˣ+cx⁻³ +x
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