求经过圆x^2+y^2-2x+4y-11=0内一点A(3,1)的各弦的中点的轨迹. 详细作答
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记通过A点的弦的中点为D，圆心为O，AO的中点为S，则|SD|=|AO|/2，这是因为OD垂直于AD（弦中点与圆心连线垂直于弦），即三角形AOD为直角三角形，AO为其斜边，SD是直角三角形斜边上的中位线，故其长度为AO长的一半。
综上所述，D在以S为圆心，AO为直径的圆上。
而由于圆方程可化为：(x-1)^2+(y+2)^2=16
故O(1,-2)，故S(2,-1/2),(|AO|/2)^2=(|AO|^2)/4=((3-1)^2+(1+2)^2)/4=13/4
故各弦的中点的轨迹圆的方程为：
(x-2)^2+(y+1/2)^2=13/4
综上所述，D在以S为圆心，AO为直径的圆上。
而由于圆方程可化为：(x-1)^2+(y+2)^2=16
故O(1,-2)，故S(2,-1/2),(|AO|/2)^2=(|AO|^2)/4=((3-1)^2+(1+2)^2)/4=13/4
故各弦的中点的轨迹圆的方程为：
(x-2)^2+(y+1/2)^2=13/4
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