Question

一阶非齐次线性微分方程的通解，它的基础解法（非公式），为什么刚好可以全部约掉，非常灵，非常神奇。

举个例子：(dy/dx)-(2y)/(x+1)=(x+1)^(5/2)，求他的通解y.
大概步骤是：
先求出它齐次方程的通解得y=c(x+1)^2，令c=u(x)，得y=u(x+1)^2，y'=[u'(x+1)^2]+[2u(x+1)]，然后把它俩带入原方程，刚好可以把u全部约掉，得到u'，后面的步骤省略。
我想问的是为什么这么神奇，为什么可以把u全部约掉，只留下u'和x。不止这一个方程我随机试验了好几种方程，都是刚好把u约掉，只留下u'和x。里面有什么奥秘么？
再例如：xy'+y-xy=e^(2x)，再例如：y'(x+1)+2y=(x+1)^3

Answer 1

1.是常数变易法，将y=c(x+1)^2中的c变易为函数。
对一般y'+py=q, 齐次方程的通解y=ce^(∫-pdx),改c为u(x)，y'=u'e^(∫-pdx)+ue^(∫-pdx)(-p)
代入得：u'e^(∫-pdx)+ue^(∫-pdx)(-p)+pue^(∫-pdx)=q
所以：u'=qe^(∫-pdx),可求出u ，从而得通解公式。

2.纯粹是数字游戏
[(X+52.8)×5-3.9343]÷0.5-X×10=520.1314
=10X+520.1314-X×10=520.1314
如果你把52.8改成a, 3.9343改成b, 那答案一定是10a-2b
这题一点意思也没有，只不过是什么“我爱你一生一世”，按照上面的公式，你也可以编的

Answer 2

这个是常数变异法求一阶线性非齐次微分方程的解。
证明过程书中没说出来，但是这样用是可以的。仅此而已。

追问

能说下为什么这么神奇么？它的原理是什么呢？

感觉有点像数字游戏，是不是和下面这个有异曲同工之妙？
任意一个数加上52.8后再乘上5，减去3.9343，得出的差再除以0.5，再减去该任意数的十倍，其结果永远等于520.1314。 [(X+52.8)×5-3.9343]÷0.5-X×10=520.1314

追答

这个方法书上也没说为什么。