Question

线性代数问题 已知三阶对称矩阵A的一个特征值为λ=2，对应的特征向量α=(1，2，-1)，且A的主对

线性代数问题 已知三阶对称矩阵A的一个特征值为λ=2，对应的特征向量α=(1，2，-1)，且A的主对角线上的元素全为0，求A.
已知三阶对称矩阵A的一个特征值为λ=2，对应的特征向量α=(1，2，-1)，且A的主对角线上的元素全为0，求A.

Answer 1

（1）设另外2个特征值为二重
0=2+2λ，
λ=-1，
a1*a2=0,a1*a3=0
a2=(0.1.2)
a3=(1.0.1)
令P=（a1,a2,a3）则
P^(-1)AP=Λ=diag（-1.-1.2）
A=PΛP^(-1) ，带入求解A

设A矩阵为
A=( 0. a1,a2
a1.0. a3
a2.a3. 0 )
Aα1=2α1
2a1-a2=2
a1-a3=4
a2+2a3=-2
a1=2,a2=2,a3=-2
则A矩阵为=（0.2.2；2.0.-2；2.-2.0）

Answer 2

由已知可设 A=
0 a b
a 0 c
b c 0
再由 Aα=λα 得
2a - b = 2
a - c = 4
b + 2c = -2
解得 a=2,b=2,c=-2
所以 A =
0 2 2
2 0 -2
2 -2 0