Question

f(x)是零到正无穷上的正值连续函数，且1/f(x)在零到正无穷上的积分小于正无穷， 证明：

1、存在数列Xn ，满足｛Xn｝ 严格单调递增，lim Xn—>正无穷（n趋于无穷时）,
lim f(Xn)=正无穷（n趋于无穷时）
2、x 趋于无穷时 , lim [f(t)在零到x上的积分]/x^2为正无穷。

Answer 1

1、任取x1>0，如果对任意的x>x1，都有f(x)<=f(x1)，则1/f(x)>=1/f(x1)。于是1/f(x)在零到正无穷上的积分等于正无穷。与假设矛盾。故有x2>x1，使得f(x2)>f(x1)。如此下去，既可选取到
数列Xn ，满足｛Xn｝ 严格单调递增，lim Xn—>正无穷（n趋于无穷时）,
lim f(Xn)=正无穷（n趋于无穷时）。

2、用反证法。设lim [f(t)在零到x上的积分]/x^2为有限数。由洛必达法则知，
lim f(x)/2x为有限数。于是1/f(x)与1/x等价。从而1/f(x)在零到正无穷上的积分等于正无穷。此为矛盾。

Answer 2

、任取x1>0，如果对任意的x>x1，都有f(x)<=f(x1)，则1/f(x)>=1/f(x1)。于是1/f(x)在零到正无穷上的积分等于正无穷。与假设矛盾。故有x2>x1，使得f(x2)>f(x1)。如此下去，既可选取到
数列Xn ，满足｛Xn｝ 严格单调递增，lim Xn—>正无穷（n趋于无穷时）,
lim f(Xn)=正无穷（n趋于无穷时）。

2、用反证法。设lim [f(t)在零到x上的积分]/x^2为有限数。由洛必达法则知，
lim f(x)/2x为有限数。于是1/f(x)与1/x等价。从而1/f(x)在零到正无穷上的积分等于正无穷。此为矛盾