Question

设函数y=y（x）由方程2y^3-2y^2+2xy-x^2＝1所确定。求y＝y（x）的驻点，并且判别它是否为极值点。

Answer 1

对x求导:6y^2 y'-4yy'+2y+2xy'-2x=0
得:y'=(x-y)/(3y^2-2y+x)
由y'=0, 得x=y, 代入原方程得:2y^3-2y^2+2y^2-y^2=1,得:2y^3-y^2-1=0
得:y=1, 故驻点为(1,1)
又y"(1)=1/2>0
所以为极小值点

Answer 2

方程两边对x求导

6y²y' - 4yy' +2y +2xy' -2x =0
y' = (x-y) / (3y²-2y+x)
令 y' = 0得 y=x 代入原方程解得，x=y=1
y（x）的驻点为x=1

对y（x）求二阶导数，再把(1,1)代入得y'' >0故是极值点