如图所示,BC是圆O直径,AD⊥BC,垂足为D,弧BA=弧AF,BF与AD交于E，求证AB^2=2AD*AE
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连接AC, AO
因为 弧BA=弧AF ，
所以 角ABF=角AFB
又 角AFB=角ACB （圆周角）
易证 角BAD=角ACB
所以 三角形ABE 相似 三角形ACO
所以 AB/AC=AE/OC (*)
因为 三角形ABC是直角三角形，AD垂直斜边
所以 AB^2=BD*BC，AB/AC=BD/AD
所以 BD/AD=AE/OC ==> BD*OC=AD*AE
所以 AB^2=BD*BC=2*BD*OC=2AD*AE
(3)
若A,F是半圆的三等分点，那么 角ACB=30度
所以 AB=BC/2=6，AC=6√3
由 (*)式得
AE=AB*OC/AC=6*6/6√3=2√3
因为 弧BA=弧AF ，
所以 角ABF=角AFB
又 角AFB=角ACB （圆周角）
易证 角BAD=角ACB
所以 三角形ABE 相似 三角形ACO
所以 AB/AC=AE/OC (*)
因为 三角形ABC是直角三角形，AD垂直斜边
所以 AB^2=BD*BC，AB/AC=BD/AD
所以 BD/AD=AE/OC ==> BD*OC=AD*AE
所以 AB^2=BD*BC=2*BD*OC=2AD*AE
(3)
若A,F是半圆的三等分点，那么 角ACB=30度
所以 AB=BC/2=6，AC=6√3
由 (*)式得
AE=AB*OC/AC=6*6/6√3=2√3
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