Question

求解三道微积分，过程尽量详细点吧，谢谢了。积分符号不写了，解答好的，可以加分啊

1: 根号下(e^x+1)dx
2: 1/（x^2*根号下（1+x^2））dx.
3: x^2 / 根号下（25-4x^2） dx
快来帮帮忙啊~~~能答多少算多少啊~~尽量多答吧，拜托了，第一题解决了，看到的人帮忙解决下后面的吧

Answer 1

解法如下：
1 、设√e^x+1=t, 则e^x=t^2-1, x=ln(t^2-1) dx=2tdt/(t^2-1)∫√e^x+1 dx
=2∫ t^2/(t^2-1)dt
=2∫1+1/(t^2-1) dt
=2t+∫[1/(t-1 )-1/(t+1)]dt
=2t+ln(t-1)-ln(1+t)+c
根据t=(√e^x+1), 上式=2(√e^x+1)+ln[(√e^x+1)-1]-ln[(√e^x+1)+1]+c

2、∫1/（x^2*√（1+x^2) dx.
设x=tant , t∈(-π/2,π/2) 则 dx=(sect)^2 dt
∫1/（x^2*√（1+x^2) dx
=∫(sect)^2dt / [(tant)^2* sect]
= ∫sect dt /(tant)^2
=∫ csct*cott dt= - csct+c
根据tant=x, 则：csct= (√x^2+1)/x 所以上式= -(√x^2+1)/x +c

3、∫x^2 / √（25-4x^2） dx
设x=(5/2)sint t∈(-π/2,π/2) 则dx=(5/2)cost dt
∫x^2 / √（25-4x^2） dx
=∫[(25/4)(sint)^2/ 5cost ]*(5/2)cost dt
=(25/8)∫ (sint)^2 dt
=(25/16)∫(1-cos2t) dt
=(25/16)[t-(1/2)sin2t]+c
t=arcsin(2x/5) 另外由sint=2x/5, 可得 sin2t=2sint cost=(4x/5)*[√1-(4x^2/25)]
所以原式=(25/16)arcsin(2x/5)-(5x/8)√1-(4x^2/25) +c

！

Answer 2

1. 

2. 

3. 

4. 结果由mathematica 8生成 

   
   

Answer 3

2.
1/(x²√（1+x²))dx
=(1+x²-x²)/(x²√（1+x²))dx
=√﹙1＋x²﹚/x²dx－1/√﹙1＋x²﹚dx
=.......
3
x²/√﹙25－4x²﹚dx
=﹙x²－25/4＋25/4﹚/﹙25－4x²﹚
=.....
相信接下的你会吧，若不会，欢迎追问

追问

第三天答案能写详细点么？看不懂，谢谢了

追答

就是把括号里的才开呀
=－1/4×√﹙25﹣4x²﹚dx＋25/﹙4﹙√25－4x²﹚﹚dx
凑出√1-x²的形式总会吧

追问

貌似接下来的过程还很长吧，能否帮算下啊~我都不知道怎么算了~~

追答

好吧，我明天再算；第二个用到分部积分，和积分表里的双对数积分1/√﹙1＋x²﹚dx=ln（x+√﹙1＋x²﹚）；第三个前半部分三角换元积分，后部分基本积分公式
2
=∫√﹙1＋x²﹚/x²dx－∫1/√﹙1＋x²﹚dx
=-√﹙1＋x²﹚/x﹢∫1/﹙√1＋x²﹚dx-∫1/√﹙1＋x²﹚dx
=﹣√﹙1＋x²﹚/x＋C
3设－π/2＜t＜π/2,则
=1/4﹙∫√﹙25－4x²﹚dx＋∫25/﹙√25－4x²﹚dx
=5/4﹙∫√﹙1－﹙2x/5﹚²﹚dx＋∫1/﹙√﹙1－﹙2x/5﹚²﹚dx﹚
令2x/5=sint,x=5/2sint
=5/4﹙5/2∫costdsint＋∫1/﹙√﹙1－﹙2x/5﹚²﹚dx
=5/4﹙5/2﹙sintcost＋∫sin²tdt﹚＋∫1/﹙√﹙1－﹙2x/5﹚²﹚dx
=5/4﹙5/2﹙sintcost＋t-∫cos²tdt﹚＋∫1/﹙√﹙1－﹙2x/5﹚²﹚dx
=5/4﹙5/4﹙sintcost＋t﹚＋5/2∫1/﹙√﹙1－﹙2x/5﹚²d﹙2x/5﹚﹚
=5/4﹙5/4﹙sintcost＋t﹚＋5/2arcsin﹙2x/5﹚﹚
=5/4﹙5/4﹙﹙2x/5﹚√﹙1－﹙2x/5﹚²﹚＋arcsin﹙2x/5﹚﹚＋5/2arcsin﹙2x/5﹚﹚
剩下的自己化简吧最后别忘了＋C