Question

求证一道线性代数证明题

设A是m*n矩阵且行满秩，B是n*（n-m) 且列满秩，且AB=O求证若η是齐次线性方程组AX=0的解，则存在唯一的ζ使Bζ=η 请详细一些

Answer 1

由已知, r(A)=m
所以 AX=0 的基础解系含 n-m 个向量.
因为 AB=0
所以B的列向量都是AX=0的解
又因为B列满秩, r(B)=n-m
所以B的列向量构成AX=0的基础解系
所以AX=0的解η可由B的列向量组唯一线性表示
即BX=η有唯一解ζ.

Answer 2

这个题不难

首先由AB=0，η是AX=0的解，那么η是B的列向量张成空间的一个向量，又由B列满秩，那么η由B的列向量组表出唯一，即存在唯一的ki,i=1，2，…，（n-m）使得η=k1B1+k2B2+…+k〔n-m〕B〔n-m〕，（Bi，i=1，2，…，（n-m）为B的列向量），令ζ=（k1，k2，…，k〔n-m〕）∧T.即η=Bζ从而得证

Answer 3

由A是行满秩且m<n知，Ax=0的基础解系是n-m维的。
又AB=0，知B的每一列都是Ax=0的解。
又知B列满秩，所以B的列构成Ax=0的基础解系。
所以Ax=0的任意一解都可以表达为B的列的线性组合，所以对Ax=0的解η，一定存在ζ使Bζ=η 。