Question

已知二次函数y=x平方-(k+1)x+k(1)求k为何值时,该二次函数的图像与x轴只有一个交点

（2）若该二次函数与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的负半轴交于点C，问在这个二次函数的图像上是否存在点D，使得三角形ADB与三角形AOC相似（点O为原点坐标）？若存在D点，请写出此时二次函数的解析式。若不存在，请说明理由。

（第一小题已经求出了，只要第二小题就可以了，要快哦）

Answer 1

（2）与x轴相交，则y=0，即：x²-(k+1)x+k=0
注意十字相乘：(x-k)(x-1)=0
得：x1=k，x2=1
与y轴的交点C(0,k)，在y轴负半轴，则：k<0
所以，与x轴的两个交点，一个是1，一个是k（负的）
因为A在点B的左边，所以：A(k,0)，B(1,0)
画出草图，知：三角形AOC是等腰直角三角形。
三角形ADB与三角形AOC相似，则：三角形ADB是直角三角形。

因为点D在抛物线上，所以，易知A，B不可能是直角点，
则：D是直角点
又因为三角形ADB是等腰直角三角形，所以，DB=DA
所以，D在AB的垂直平分线，即D在抛物线的对称轴上
所以，点D是抛物线的顶点
AB=1-k，抛物线y=x²-(k+1)x+k的顶点D（(k+1)/2，-(k-1)²/4）
要使得：三角形ADB是等腰直角三角形
则：D到AB的距离=(k-1)²/4=AB/2
即：(k-1)²/4=(1-k)/2
(1-k)/2=1
得：k=-1
所以，存在，此时抛物线的解析式为：y=x²-1

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

Answer 2

解：（1）△=k²+2k+1-4k=0得k=1时，该二次函数的图像与x轴只有一个交点
（2）存在。理由如下：
x平方-(k+1)x+k=0的两根是1、k. 。∵与y轴的负半轴交于点C（0，k）∴k<0
∴A(K, 0) B(1， 0)。则△AOC是等腰直角三角形，其中直角边是-k，斜边-根号2k。
若AB为底边，只考虑D是顶点（（k+1)/2，(2k-k²-1)/4)。高为（k-1)²/4，要是底边AB=1-k的一半才相似。得（k-1)²/2=1-k，∴k=1或者-1（1与k<0矛盾，舍去）。
此时D(0，-1),,，抛物线y=x²-1
若AB为直角边，显然找不到抛物线上的点D使角DAB或者DBA是直角。
∴综上，存在，k=-1时，D(0，-1),,,，抛物线y=x²-1