证明：若f(x)是奇函数，则f(t)dt在0到x上的定积分F(x)是偶函数
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首先证明偶函数的导数是奇函数
设 f(x)为可导的偶函数。f(x)=f(-x)
g(x)为f(x)的导函数。
对于任意的自变量位置 x0
g(x0) = lim[f(x0+dx)-f(x0)]/dx
g(-x0) = lim[f(-x0+dx)-f(-x0)]/dx = lim[f(x0-dx)-f(x0))/dx
f(x)可导，其左右导数相等。
即：lim[f(x0+dx)-f(x0)]/dx = lim[f(x0)-f(x0-dx)]/dx
上面这个等式中，左端就是 g(x0)的表达式，而右端即为 -g(-x0)的表达式。
即 g(x0) = - g(-x0)
x0 具备任意性，因此 g(x) = - g(-x)
即在 f(x)是可导偶函数前提下，其导函数是奇函数
则上述问题就很容易证明了
设 f(x)为可导的偶函数。f(x)=f(-x)
g(x)为f(x)的导函数。
对于任意的自变量位置 x0
g(x0) = lim[f(x0+dx)-f(x0)]/dx
g(-x0) = lim[f(-x0+dx)-f(-x0)]/dx = lim[f(x0-dx)-f(x0))/dx
f(x)可导，其左右导数相等。
即：lim[f(x0+dx)-f(x0)]/dx = lim[f(x0)-f(x0-dx)]/dx
上面这个等式中，左端就是 g(x0)的表达式，而右端即为 -g(-x0)的表达式。
即 g(x0) = - g(-x0)
x0 具备任意性，因此 g(x) = - g(-x)
即在 f(x)是可导偶函数前提下，其导函数是奇函数
则上述问题就很容易证明了
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2024-10-13 广告
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