Question

高中数学导数不等式证明求解

Answer 1

一股化成两边差的函数，求最小值>0：定义域x>0,
设f(x)=x/e+(2x+9/x)e^x-12x-2x²lnx-10lnx
f'(x)=1/e+(2-9/x²）e^x+(2x+9/x)e^x-12-4xlnx-2x²/x-10/x
=1/e+(2-9/x²+2x+9/x）e^x-12-4xlnx-2x-10/x
f'(1)=1/e+(2-9+2+9）e-12-0-2-10
=1/e+4e-24<0
f''(x)=(18/x³+2-9/x²+2-9/x²+2x+9/x）e^x-4lnx-4-2+10/x²
=(18/x³+4-18/x²+2x+9/x）e^x-4lnx-6+10/x²
f'''(x)=(-54/x^4+36/x³+2-9/x²+18/x³+4-18/x²+2x+9/x）e^x-4/x-20/x³
=(-54/x^4+54/x³+6-27/x²+2x+9/x）e^x-4/x-20/x³
=[(-54+54x+6x^4-27x²+2x^5+9x³）e^x-4x³-20x]/x^4
x-->0,f'''(x)->(-54)/0+->-∞，

f^(4)(x)=(216/x^5-162/x^4+54/x³+2-9/x²-54/x^4+54/x³+6-27/x²+2x+9/x）e^x+4/x²+60/x^4
=(216/x^5-216/x^4+108/x³+8-36/x²+2x+9/x）e^x+4/x²+60/x^4
=[(216-216x+108x²+8x^5-36x³+2x^6+9x^4）e^x+4x³+60x]/x^5
设g(x)=216-216x+108x²+8x^5-36x³+2x^6+9x^4
g'(x)=-216+216x+40x^4-108x²+12x^5+36x^3
g''(x)=216+160x³-216x+60x^4+108x²
g'''(x)=480x²-216+240x³+216x=24（20x²-9+10x³+9x）
g''''(x)=960x+720x²+216>0
g'''(x)单增，g'''(0)=-216<0,g'''(1)=720>0,
x=0.4496597467,g'''(x)=0,g''(x)极小=157.71>0,
∴g''(x)>0,g'(x)递增，
g'(x)=0,x=1.057200861,
g(x)最小值=g(1.057200861)=90.41589768>0
f^(4)(x)>0,f'''(x)单增。
x=1.247534771，f'''(x)=0，
f''(x)最小值=26.235，∴f'(x)单增，只有1个0点：
x=3.434417108，f'(x)=0,f(x)有最小值=212.902，
f(x)>0
所以：得证。

Answer 2

把右边的不等式减到左边来，设为F（x），那么就是证明Fmin（x）≥0

追答

还有。既然是高中数学。请你不要放到高等数学的分类的标签里面，放到初等数学或者高中数学的标签里面都行。

Answer 3

缩放法

Answer 4

还没学到这个年级的哈哈