Question

椭圆C:x2/a2+y2/b2=1的离心率为根号3/2,以原点为圆心,椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切。（1）

求椭圆c的方程;(2)已知点P（0,1），Q（0,2），设M,N是椭圆c上关于y轴对称的不同点，直线PM与QM相交于点T，求证：点T在椭圆c上

Answer 1

解：(1)由题意易得：b=（0-0+2）/√（1+1）=√2
又已知e=c/a=√3/2，所以得a²=8，b²=2，c²=6
所以椭圆C方程为：x²/8+y²/2=1
(2)设M点坐标为（x0，y0），则N点坐标为（-x0，y0）。
那么直线QM方程为：y-2=[(y0-2)/x0]x
直线PN方程为：y-1=[(1-y0)/x0]x
上述两方程联立得x=x0/(3-2y0)，y=(4-3y0)/(3-2y0).
所以T点的坐标为T(x0/(3-2y0),(4-3y0)/(3-2y0))
将T点代入椭圆C方程，再化简得x²0+4y²0=8……①
又M在椭圆C上，将M代入椭圆C方程得到与①一样的方程。
所以T在椭圆C上。