Question

设函数f(x)=[xe^(x+1)]-m(-2≤x≤2）有两个不同零点，则实数m的取值范围是

Answer 1

首先求出f(x)的极值点
f'(x)=e^(x+1)+xe^(x+1)=(x+1)*e^(x+1)
f''(x)=e^(x+1)+(x+1)e^(x+1)=(x+2)*e^(x+1)
当f'(x)=0，f''(x)/=0时，函数f(x)取得极值
由f'(x)=(x+1)*e^(x+1)=0解得x=-1
当x=-1时，f''(x)=(-1+2)*e^(-1+1)=1>0
所以，当x=-1时，f(x)取得极值
当-2<=x<-1时，f'(x)=(x+1)*e^(x+1)<0，此时函数f(x)单调递减
当-1<x<=2时，f'(x)=(x+1)*e^(x+1)>0，此时函数f(x)单调递增
所以，当x=-1时，f(x)取得全局极小值，即取得最小值

因此若要在[-2,2]上有两个不同的零点
则f(-2)>=0，f(2)>=0，f(-1)<0
f(-2)=-2e^(-1)-m>=0 解得m<=-2e^(-1)
f(2)=2e^3-m>=0 解得m<=2e^3
f(-1)=-e^0-m<0 解得m>-1
因为-2e^(-1)<0<2e^3
所以综上所述，-1<m<-2e^(-1)

Answer 2

首先计算出f(x)的一阶导数和二阶导数
f'(x)=(e*x+e)e^x
f''(x)=(e*x+2e)e^x
当f'(x)=0时，解得x=-1
f''(-1)=1
所以，当x=-1时，f(x) 有最小值点。

因此若要在[-2,2]上有两个不同零点，
则f(-2)*f(-1)<0 and f(-1)*f(2)<0
(m+1)(m*e+2)/e<0 (1)
(m+1)(m-2*e^3)<0 (2)
(1)式，-1<m<-2/e
(2)式,-1<m<2e^3

两不等式联立，解得：-1<m<-2/e

约为：(-1,-0.736)

Answer 3

首先求出f(x)的极值点
f'(x)=e^(x+1)+xe^(x+1)=(x+1)*e^(x+1)
f''(x)=e^(x+1)+(x+1)e^(x+1)=(x+2)*e^(x+1)
当f'(x)=0，f''(x)/=0时，函数f(x)取得极值
由f'(x)=(x+1)*e^(x+1)=0解得x=-1
当x=-1时，f''(x)=(-1+2)*e^(-1+1)=1>0
所以，当x=-1时，f(x)取得极值
当-2<=x<-1时，f'(x)=(x+1)*e^(x+1)<0，此时函数f(x)单调递减
当-1<x<=2时，f'(x)=(x+1)*e^(x+1)>0，此时函数f(x)单调递增
所以，当x=-1时，f(x)取得全局极小值，即取得最小值
因此若要在[-2,2]上有两个不同的零点
则f(-2)>=0，f(2)>=0，f(-1)<0
f(-2)=-2e^(-1)-m>=0
解得m<=-2e^(-1)
f(2)=2e^3-m>=0
解得m<=2e^3
f(-1)=-e^0-m<0
解得m>-1
因为-2e^(-1)<0<2e^3
所以综上所述，-1<m<-2e^(-1)