Question

换元法求不定积分是的正负号怎么确定

题目:∫(1/√((x^2+1)^3))dx，利用换元法求得∫(1/√((x^2+1)^3))dx=sint+c，可是sint可以解出正负两个值，即±1/√(x^2+1)，请问负值是如何舍去的?

Answer 1

此题你可能是设x=tant 为了保证函数单调性这里需要限定： t∈(-π/2,π/2)
这样也便于去掉根号时不产生错误
则dx=(sect)^2 dt
原式=∫ 1/sect dt=∫cost dt=sint+c
根据tant=x, 则cott=1/x 可得：(csct)^2=1+(1/x)^2 → csct=[√(1+x^2)] / x
所以sint=1/csct=x/√(1+x^2)
所以原式= x/√(1+x^2)+c

如果你也是设x=tant,那么你求得的sint 结果可能是错误的。
这里在初设的时候必须要限定t的范围，以保证x=tant 的单调性，这是第二类换元法使用的必要条件。一般用他们的反三角函数的范围就可以。
另外必须根据t的范围，才可以判断上述csct、sint 如何取值，否则可能无法取舍正负号。

Answer 2

你这问题实际不是大问题，因为三角换元时，一般是含√(a^2-x^2)、√(a^2+x^2)、√(x^2-a^2)的式子。以第一个为例，做的代换是x=asint,
(-π/2=0；代换后，a^2-x^2=a^2cos^2(t),开方后|a||cost|,因(-π/20)。一般这个过程不再写出，就被认为正负号不用考虑。实际上是已经考虑过了。严格些的教科书都是这样写的。但是好多人往往忽视(-π/2另外两个也与此类似。不多说了。