Question

已知 F1 F2 为双曲线C：x²-y²=1的左右焦点，点p在C上，∠F1PF2=60°，求三角形F

已知 F1 F2 为双曲线C：x²-y²=1的左右焦点，点p在C上，∠F1PF2=60°，求三角形F1PF2的面积

Answer 1

有公式：焦点三角形的面积 S=b^2*cot(θ/2) ，其中 θ=∠F1PF2 。
这里焦点三角形是指以双曲线上任一点与两个焦点为顶点的三角形。

证明：设 |PF1|=m ，|PF2|=n ，
则 |m-n|=2a ，两边平方得 m^2-2mn+n^2=4a^2 ，
又由余弦定理，m^2+n^2-2mncosθ=|F1|F2|^2=4c^2 ，
两式相减得 2mn-2mncosθ=4(c^2-a^2)=4b^2 ，
利用三角公式可得 2mn*(1-cosθ)=4mn*[sin(θ/2)]^2 ，
由此得 mn=b^2/[sin(θ/2)]^2 ，
所以，S=1/2*mn*sinθ=b^2*sinθ/[2(sin(θ/2))^2]
=b^2*2sin(θ/2)*cos(θ/2)/[2(sin(θ/2))^2]=b^2*cot(θ/2) 。

代入可得 S=1*cot30°=√3 。

（同理可得椭圆焦点三角形面积 S=b^2*tan(θ/2) ）

Answer 2

设第一象限点P (X,Y)
F1 F2 为双曲线C：x²-y²=1的左右焦点
c^2=a^2+b^2=2
所以 F1(-根号2,0) F2(根号2,0)
S三角形F1PF2=1/2*PF1*PF2*sin∠F1PF2
=1/2*(根号2*X+1)(根号2*X-1)*根号3/2
S三角形F1PF2=1/2*F1F2*Y
所以 2Y^2-4*根号6/3*Y+1=0
(Y-根号6/6)(Y-根号6/2)=0
所以Y=根号6/6或者Y=根号6/2
所以 S=1/2*F1F2*Y=1/2*2根号2*Y
S=根号3/3 或者 S=根号3

Answer 3

由题意得: a=1 b=1 c=√2
|F1F2|=2√2
|F1F2|²=|PF1|²+|PF2|²-2|PF1||PF2|cos60°
=|PF1|²+|PF2|²-|PF1||PF2|
=(|PF1|-|PF2|)²+|PF1||PF2|
(2c)²=(2a)²+|PF1||PF2|
|PF1||PF2|=4
三角形F1PF2的面积=1/2×|PF1||PF2|sin60°=√3

Answer 4

设F1P、F2P的长度为m、n之后利用余弦定理和双曲线的定义算出mn最后根据S=1/2mn*SinP算出三角形的面积