Question

设f(x)是定义在区间（-a,a）上的奇函数，g(x)是定义在（-a,a）上的偶函数。

若f(x)、g(x)满足f(x)+g(x)=x3-x2-1,求f(x),g(x)的表达式
过程要详细一点～

Answer 1

解答：
函数方程的问题，将f(x),g(x)看成未知数

f(x)+g(x)=x^3-x^2-1, ------------(1)

将x换成-x
f(-x)+g(-x)=-x^3-x^2-1
∵ f(x)是奇函数，g(x)是偶函数
∴ -f(x)+g(x)=-x^3-x^2-1 ------------(2)
(1)+(2)
2g(x)=-2x²-2
∴ g(x)=-x²-1
(1)-(2)
2f(x)=2x^3
∴ f(x)=x^3

Answer 2

f(x)是定义在区间（-a,a）上的奇函数 则f(x)=-f(-x)
g(x)是定义在（-a,a）上的偶函数 则g(x)=g(-x)
f(x)+g(x)=x3-x2-1---------(1)
f(-x)+g(-x)=-x3-x2-1 即-f(x)+g(x)=-x3-x2-1 ---------(2)
由（1）和（2）解得 g(x)=-x^2-1
f(x)=x^3

Answer 3

解：
f（x）+ g（x）=x³-x²-1- - - - - - - - - - - - - - - -①
则f（-x）+ g（-x）=-x³-x²-1
因为f（x）为奇函数，g（x）为偶函数
故f(-x)=-f(x) g(-x)=g(x)
-f（x）+ g（x）=-x³-x²-1- - - - - - - - - - - - - - - -②
①+②=2g（x）=-2x²-2
g（x）=-x²-1
将g（x）=-x2-1代入①式得f（x）=x³

Answer 4

f(-x)=-f(x) g(-x)=g(x)
f(x)+g(x)=x³-x²-1 f(-x)+g(-x)=-x³-x²-1
-f(x)+g(x)=-x³-x²-1
2g(x)=-2x²-2 g(x)=-x²-1
2f(x)=2x³ f(x)=x³