Question

已知a,b,c属于正实数，且a+b+c=1.求证：ab+bc+ca<=1/3

Answer 1

证：
由均值不等式得
a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca
(a²+b²)+(b²+c²)+(c²+a²)≥2ab+2bc+2ca
2(a²+b²+c²)≥2(ab+bc+ca)
a²+b²+c²≥ab+bc+ca
a+b+c=1
(a+b+c)²
=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca
≥ab+bc+ca+2ab+2bc+2ca
=3(ab+bc+ca)
(a+b+c)²=1
3(ab+bc+ca)≤1
ab+bc+ca≤1/3

Answer 2

a+b+c=1 b+c=1-a
ab+bc+ca = a(b+c)+bc= a(1-a)+bc >>>>>>>> 1

a,b,c属于正实数, 所以 (b-c)^2>=0, 即 b^2+c^2>=2bc, 两边同加2bc 得 (b+c)^2>=4bc
即 bc<=[(b+c)^2]/4 -----> bc<=[(1-a)^2]/4 >>>> 2

结合 1 和 2 得 ,

ab+bc+ca= a(1-a)+bc < = a(1-a)+ [(1-a)^2]/4= 1/4*(1+2a-3a^2)=1/3-3/4(a-1/3)^2<=1/3

Answer 3

证明：
∵a,b,c属于正实数
∴a＞0，b＞0，c＞0
∵a+b+c=1
∴(a+b+c)²=1
[(a+b)+c]²=1
(a+b)²+2(a+b)c+c²=1
a²+2ab+b²+2ac+2bc+c²=1
a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=1
2(ab+bc+ac)=1-(a²+b²+c²)........①
又∵
a²+b²≥2ab
b²+c²≥2bc
a²+c²≥2ac
即：
(a²+b²)+(b²+c²)+(a²+c²)≥2ab+2bc+2ac
2(a²+b²+c²)≥2(ab+bc+ac)
a²+b²+c²≥ab+bc+ac
∴由①有：
2(ab+bc+ac)≤1-(ab+bc+ac)
3(ab+bc+ac)≤1
ab+bc+ac≤1/3

Answer 4

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=1

(a-b)^2≥0
a^2+b^2≥2ab
同理b^2+c^2≥2bc,a^2+c^2≥2ac
a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)≥ab+bc+ac+2(ab+bc+ac)=3(ab+bc+ac)
(a+b+c)^2=1

3(ab+bc+ac)≤1
ab+bc+ac≤1/3

Answer 5

ab+bc+ca
=1/2*(2ab+2bc+2ca)
=1/2*[(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)]
=1/2-(a^2+b^2+c^2)/2
<=1/2-(a+b+c)^2/6
=1/2-1/6
=1/3