Question

大一高数微积分求解，谢谢,写一下过程

求积分dx／根号下[x+(根号x)]

Answer 1

令x=(tant)^4
4∫(sint)^2/(cost)^3dt
4∫(sint)^2/(cost)^4d(sint)
令sint=m
4∫m^2/(1+m^2)^2dm
令m=1/n
-4∫1/(n^2-1)^2dn
裂项
-∫[1/(n-1)-1/(n+1)]^2dn
得到
-∫1/(n-1)^2dn-∫1/(n+1)^2dn+2∫1/(n-1)(n+1)dn
积分前面两项最后一项再
1/(n-1)+1/(n+1)+∫1/(n-1)-1/(n+1)dn
1/(n-1)+1/(n+1)+ln(n-1)-ln(n+1)+C

追问

比楼上的简便多了哈

Answer 2

解：
令u=√x，则du=dx/(2√x)

∫dx/√(x+√x)

=2∫ u/√(u²+u) du

=2∫ u/√[(u+1/2)²-1/4] du

=2∫ (1/2·sect-1/2)/√[1/4·sect-1/4]·1/2·tant·sect dt 【令1/2·sect=u+1/2，du=1/2·tant·sectdt】

=∫(sec²t-sect) dt

=∫sec²tdt-∫sectdt

=tant-ln|tant+sect|+C

=2√(x+√x)-ln|2√x+2√(x+√x)+1|+C

追问

请问是怎么想到这步的？令1/2·sect=u 1/2，du=1/2·tant·sectdt

追答

根据sec²t-1=tan²t

追问

谢谢，明白了

追答

不客气