Question

判断函数f(x)=1/(1-e＾(x/x-1))的间断点及类型?

不太懂当x趋于1时的情况，尤其是当x趋于1-时，为什么x/(x-1)趋于-∞，我感觉应该是+∞，求解答😭😭😭

Answer 1

首先间断点是x=0、1处
以下针对题主的疑问进行分析，
x趋于1时，
讨论x=1的左极限，
此时x-1趋于0且小于0，x趋于1
则x/x-1趋于负无穷大
e^（x/x-1）趋于0
f（x）在x=1左极限为1/（1-0）=1
再讨论x=1的右极限，
此时x-1趋于0且大于0，
x趋于1则x/x-1趋于正无穷大
e^（x/x-1）趋于正无穷大
f（x）在x=1右极限为0
左右极限不相等，在x=1为跳跃间断点

追问

但是为什么x→1呢？既然是分情况讨论了，那么x应该是用趋于1-吧，这样x就有正还有负了，不太理解这个x趋于1的这一步

追答

你好，判断间断点，需要计算左右极限的

不是单讨论一边哦

x趋于1-是，x在1处的左极限；x趋于1+是，x在1处的右极限

追问

这个我懂，但你写的这一步"讨论x=1的左极限，此时x-1趋于0且小于0，x趋于1"我纠结的在于，上述那个"x趋于1"这个点😂，我还是不太理解

追答

哦哦，我明白你的意思了

x=1的左极限就是x趋近于1，且x小于1

然后x-1就是小于0趋于0，为负数，x趋于1，分式转化为1/0的格式，趋于无穷大，注意分母为负，所以分式就是趋于负无穷大了

追问

那x趋于1要不要考虑为负的情况啊?因为不是说"x=1的左极限就是x趋近于1，且x小于1"

追答

x趋于1，即使是左极限，也不会小于0，只是比1小一点，可以看做比0.99999都大

追问

好的，谢谢你了

追答

不客气，很高兴能帮到你