Question

求x/sinx在x=0处的带佩亚诺余项的泰勒公式，展开到x^4即可

Answer 1

可以考虑x/sinx求4阶导数，令x趋于0可求出系数
现在用级数的除法：显然f(x)=x/sinx为偶函数，故泰勒公式中只有偶次幂
设f(x)=x/sinx=(a0+a2x^2+a4x^4+o(x^5))
那么x=(a0+a2x^2+a4x^4+o(x^5))(x-x^3/6+x^5/5!+o(x^6))
=a0x+(a2-a0/6)x^3+(a4-a2/6+a0/5!)x^5+o(x^6)
解得：a0=1,a2=1/6,a4=1/32-1/36=1/288
所以：f(x)=x/sinx=1+x^2/6+x^4/288+o(x^5))

Answer 2

sinx=x-x³/3!+x^5/5!+...
所以
原式=1-x²/3!+x^4/5!+o(x^5)

追问

但是sinx是分母啊。。怎么做？

追答

无解。

追问

有解的。作业题。

追答

f(0)=?,分母没有意义啊。

追问

应该是x趋近于0时

追答

就是把x/sinx求4阶导数，把x=0代入，套公式即可。