Question

矩阵乘积的秩

为什么如果一个矩阵B左乘一个矩阵A，那么AB这个矩阵的秩一定小于等于原矩阵B的秩？ 也就是 Rank （AB) <= Rank (B)

如何证明？

右乘的情况又是怎样？ 谢谢

Answer 1

rank(AB)<=min{rank(A),rank(B)}

直接验证可知矩阵AB的列向量组是A的列向量的线性组合，故rank(AB)<=rank(A)；同理，矩阵AB的行向量组是B的行向量的线性组合，故rank(AB)=AB的行秩<=B的行秩=rank(B)，由这一点可以得到左乘右乘都成立。

矩阵的秩

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

Answer 2

rank(AB)<=min{rank(A),rank(B)}

直接验证可知矩阵AB的列向量组是A的列向量的线性组合，故rank(AB)<=rank(A)；同理，矩阵AB的行向量组是B的行向量的线性组合，故rank(AB)=AB的行秩<=B的行秩=rank(B).

由这一点可以得到左乘右乘都成立。

Answer 3

请看图片: 

追问

谢谢老师, 请问定理(2.12)是什么?

为什么如果AB的列向量组可以由A的列向量组线性表示, 就有R(AB)<=R(A)?

追答

定理(2.12) 若向量组A可由向量组B线性表示, 则 r(A)<=r(B)

这个结论一般教材中都有的, 你找找吧